Lengkungan ruang di dekat lubang hitam
(Ahli teori yang ketat harus memaafkan ungkapan saya tentang pertanyaan ini, saya baru mengenal GR dan sebagian besar pelatihan fisika saya adalah dalam mekanika kuantum)
Dalam geometri non-Euclidean, kita dapat berbicara tentang ruang bola seperti dalam ruang yang melengkung secara intrinsik. Dalam ruang bola, garis "paralel" bertemu ke satu titik. Saya membaca di Wikipedia bahwa "Topologi cakrawala peristiwa lubang hitam pada kesetimbangan selalu berbentuk bola."
Apakah pernyataan yang akurat untuk mengklaim bahwa ruang di sekitar lubang hitam berbentuk bola dan konvergensi "garis paralel" bertemu di beberapa titik di dalam cakrawala peristiwa? Jika tidak demikian, dapatkah kita bahkan mengklasifikasikan ruang di sekitar singularitas sebagai hiperbolik, sferis, atau yang lainnya?
Tautan dibawah:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Jawaban
Saya rasa tidak tepat untuk menggambarkan ruangwaktu di dekat lubang hitam sebagai "bola". Untuk satu hal, kelengkungan ruang berubah tergantung pada seberapa dekat Anda dengan lubang hitam. Untuk bola, kelengkungannya konstan dan tidak berbeda dengan lokasinya. Selain itu, Anda memerlukan lebih dari satu bilangan real untuk menentukan kelengkungan ruang-waktu dengan dimensi lebih tinggi dari 2. (Ini karena Anda mungkin memiliki ruang di mana sudut segitiga yang berorientasi pada satu arah berjumlah kurang dari 180 derajat , tetapi sudut segitiga yang berorientasi pada arah berbeda berjumlah lebih dari 180 derajat.) Selain itu, medan gravitasi lubang hitam sangat bergantung pada fakta bahwa ruang-waktu melengkung, tidak hanya pada kelengkungan spasial.
Anda mungkin masih dapat mengklasifikasikan kelengkungan ruangwaktu berdasarkan tanda-tanda berbagai komponen tensor kelengkungan, tetapi klasifikasinya akan lebih rumit daripada sferis vs. datar vs. hiperbolik.
Saya membaca di Wikipedia bahwa "Topologi cakrawala peristiwa lubang hitam pada kesetimbangan selalu berbentuk bola."
Jawaban ini menjelaskan apa arti pernyataan itu. Artinya jika kita mulai dengan lubang hitam mana pun di ruangwaktu 4d, kemudian menganggap cakrawala sebagai manifold 3d dengan sendirinya, lipatan ini memiliki topologi.$S^2\times \mathbb{R}$, dimana $S^2$ adalah bola dua (permukaan bola) dan $\mathbb{R}$adalah garis. Ini adalah pernyataan tentang topologi, bukan tentang geometri. Secara khusus, pernyataan itu mengatakan (hampir) tidak ada tentang geodesik (atau garis paralel).
Omong-omong, pernyataan tersebut khusus untuk lubang hitam di ruangwaktu 4d. Dalam ruangwaktu 5d, lubang hitam dapat memiliki cakrawala peristiwa dengan topologi non-bola.
Contoh
Pertimbangkan metrik Schwarzschild dalam ruangwaktu 4d. Elemen garis untuk garis dunia seperti ruang adalah$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ dimana $A(r)$pergi ke nol di cakrawala. Notasi$d\Omega^2$ adalah singkatan dari bagian koordinat-bola: tanpa faktor $A$, kombinasi ${dr^2}+r^2d\Omega^2$akan menjadi elemen garis ruang euclidean 3d datar dalam koordinat bola. Nilai tetap apa pun dari$r$mendefinisikan submanifold 3d dari ruangwaktu 4d. Jika$A(r)\neq 0$, metrik yang diinduksi pada manifold ini adalah $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ dimana sekarang $r$ dan $A(r)$adalah konstanta. Ini adalah metrik standar pada$S^2\times\mathbb{R}$, dimana faktornya $\mathbb{R}$ menyumbang koordinat ekstra $t$. Di cakrawala, kami punya$A(r)=0$, dan persamaan (1) tidak masuk akal di sana. The berjenis halus masih masuk akal sana, tapi komponen dari metrik tidak. Kami dapat mengatasi ini dengan salah satu dari dua cara:
Mengambil $r$untuk menjadi mendekati nilai ini secara sewenang-wenang. Cukup bagus untuk melihat seperti apa topologi dari$A(r)=0$akan berlipat ganda. Persamaan (1) mengatakan bahwa$dt^2$menghilang di cakrawala, yang sesuai dengan fakta bahwa cakrawala adalah permukaan hiper nol : perpindahan di$t$-direction lightlike (memiliki panjang nol).
Lebih baik lagi, kita dapat menggunakan sistem koordinat yang berbeda sehingga metrik 4d terdefinisi dengan baik di cakrawala. Dalam koordinat Kerr-Schild , metrik Schwarzschild memiliki bentuk$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ dimana $V(r)$ didefinisikan dengan baik di mana pun kecuali di $r=0$. Cakrawala sesuai dengan$V(r)=1$, Dimana $dt^2$istilah menghilang. Pengaturan$r$ sama dengan nilai khusus ini memberikan metrik yang diinduksi $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Ini adalah metrik standar pada $S^2$, tapi sebenarnya topologinya $S^2\times\mathbb{R}$, Dimana $\mathbb{R}$ faktor menyumbang $t$-koordinat. Tidak ada$dt^2$ istilah di (4) karena horizon adalah permukaan hiper nol: perpindahan di $t$-direction memiliki panjang nol. Ini adalah kesimpulan yang sama yang kita capai sebelumnya, tetapi sekarang kita telah mencapainya secara lebih langsung karena metrik (3) terdefinisi dengan baik di cakrawala.