Masalah geometri keras yang melibatkan pembagian harmonik

Question

Biarkan segitiga lancip $ABC$. Membiarkan$A_1$ dan $A_2$ persimpangan lingkaran diameter $(BC)$ dan ketinggian dari $A$ untuk $BC$ ($A_1$ lebih dekat ke $A$ dari $A_2$). Definisikan poin serupa$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Membiarkan$A'$ persimpangan $B_1C_2$ dan $B_2C_1$. Definisikan poin serupa$B'$ dan $C'$. Buktikan itu$AA'$, $BB'$ dan $CC'$ setuju.

Ide saya: Mungkin membantu melihat itu $(A,H;A_1,A_2)$ (dimana $H$ adalah pusat ortosentrum segitiga $ABC$) adalah divisi harmonik. Juga$H$ adalah pusat akar dari 3 lingkaran yang digambar, jadi $B_1C_1B_2C_2$berbentuk silinder (dengan kekuatan suatu titik). Jelas terlihat dari sosok itu$A'$ harus berbaring $BC$. Tapi saya tidak tahu bagaimana membuktikannya. Bisakah kamu membantuku? Terima kasih sebelumnya!

Jika membantu, masalahnya berasal dari buku Rumania tentang divisi harmonik, tetapi solusinya dihilangkan.

Answer 1

Kami menyelesaikan masalah menggunakan koordinat trilinear. Ketinggian$AD$ adalah himpunan titik yang koordinatnya $x:y:z$ memuaskan $$y\cos B=z\cos C$$ Lingkaran dengan diameter $BC$ didefinisikan secara analog, poin-poin yang memuaskan $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Lihat https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 untuk referensi.) Pengaturan sewenang-wenang $x=1$ (karena koordinat trilinear adalah rasio) dan kemudian menyelesaikannya $y,z$ memberi kami koordinat $A_1$ dan $A_2$: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ Tanda plus memberi $A_1$ dan tanda minus memberi $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ dapat diperoleh dengan melakukan permutasi secara siklis $A,B,C$ dalam persamaan di atas.

Sekarang kaitkan vektornya $(u,v,w)^T$dengan kedua titik pada koordinat$u:v:w$dan garis $ux+vy+wz=0$. Diketahui bahwa garis melalui titik$P_1$ dan $P_2$ adalah $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ dan perpotongan garis $l_1$ dan $l_2$ adalah $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Berdasarkan ini, perpotongan garis$B_1C_2$ dan $C_1B_2$ adalah $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ Jadi $A'$ terletak pada $BC$seperti yang Anda duga. Garis$AA'$ kemudian memiliki vektor normal $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$, dan juga untuk $\mathbf l_B=BB'$ dan $\mathbf l_C=CC'$ dengan berpindah secara siklis $A,B,C$; determinan matriks yang dibentuk oleh ketiga vektor tersebut adalah$$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ Karena itu garisnya $AA',BB',CC'$ setuju, seperti yang harus ditunjukkan, pada titik dengan koordinat trilinear $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$

---

Berikut adalah kode SymPy yang saya gunakan untuk mendapatkan semua ekspresi di atas:

#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)

def cycB(p): # ABC -> BCA
    q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
    q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[1], q[2], q[0]])

f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify(  B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1))  ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0

X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())