Memahami bukti: Setiap fungsi cembung kontinu

Question

Saya mencoba memahami bukti berikut:

Teorema 2.10. Jika$f$ adalah fungsi cembung yang ditentukan pada interval terbuka $(a, b)$ kemudian $f$ terus menerus $(a, b)$

Bukti. Seharusnya$f$ cembung $(a, b),$ dan biarkan $[c, d] \subseteq(a, b) .$ Memilih $c_{1}$ dan $d_{1}$ seperti yang $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ Jika $x, y \in[c, d]$ dengan $x<y,$ kami dapatkan dari Lemma 2.9 (lihat Gambar 4$)$ bahwa $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ dan $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ menunjukkan set $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ dibatasi oleh $M>0 .$ Itu mengikuti $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ dan oleh karena itu $f$ terus menerus secara seragam $[c, d] .$ Mengingat kontinuitas seragam menyiratkan kontinuitas, kami telah menunjukkan itu $f$ terus menerus $[c, d] .$ sejak jeda $[c, d]$ sewenang-wenang, $f$ terus menerus $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(ditranskripsikan dari tangkapan layar ini)

Pertanyaan saya :

1. Dimana nilai modulus dalam ekspresi tersebut $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ berasal dari?
2. Bagaimana dengan $M=0$? Saya rasa kasus itu juga harus ditangani, meski sepele. Saya pikir idenya adalah jika$M=0$, kemudian $f$konstan dan karenanya berkelanjutan. Tapi, bagaimana kita bisa menunjukkannya dengan seksama?

Answer 1

Sejak penulis menemukan angka $\alpha$ dan $\beta$ seperti yang selalu Anda miliki, kapan $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$dan$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$lalu set$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$dibatasi dan karenanya ditetapkan$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$dibatasi juga. Jadi, Anda bisa mengambilnya$M>0$ seperti yang$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$Dan, sejak Anda mengambil $M>0$, tidak perlu repot dengan kemungkinan itu $M=0$.

Answer 2

1. Dalam pembuktian ini kami menggunakan sesuatu yang setara dengan kesinambungan seragam pada himpunan terbatas, yaitu kontinuitas Lipschitz, dan dari situlah ekspresi ini berasal. Seseorang harus membuktikan bahwa kesinambungan Lipschitz menyiratkan kesinambungan yang seragam tetapi hal itu sering diabaikan, karena dipandang sebagai hal yang mendasar.
2. Saya tidak mengerti kenapa $M=0$ harus ditangani secara terpisah, karena fungsi apa pun yang memenuhi ketidaksetaraan dengan $M=0$ akan memuaskan ketidaksetaraan untuk hal positif $M$.