Memahami operator kerapatan dalam mekanika kuantum untuk sistem sambungan

Question

Pertimbangkan bahwa kami bekerja dengan sistem gabungan yang terdiri dari sistem A dengan basis $|\alpha_j\rangle$ dan sistem B dengan basis $|\beta_j\rangle$, kita dapat menulis matriks kerapatan umum untuk sistem sambungan sehubungan dengan basis produk tensor $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.

Saya ingin memahami bagaimana kita dapat menyimpulkan bahwa operator kepadatan dapat dituliskan sebagai berikut.

$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

Bantuan apa pun untuk memfasilitasi pemahaman saya tentang hal ini akan sangat kami hargai.

Answer 1

Jika $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ adalah dasar dari ruang Hilbert $\mathcal H_A$ dan $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ adalah dasar untuk $\mathcal H_B$, kemudian $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ adalah dasar untuk $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, ruang Hilbert alami untuk sistem komposit. Untuk meringankan notasi, saya mendefinisikan$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.

Dari situ, identitas operator terus berlanjut $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ bisa ditulis $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$

jadi operator yang sewenang-wenang $T$ bisa ditulis

$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$

dimana $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$

Answer 2

Jawaban singkatnya: terapkan kedua sisi persamaan ke sembarang vektor basis ket, dan segala sesuatunya akan banyak disederhanakan.

Kebenaran dari persamaan itu tidak ada hubungannya dengan fakta bahwa ini adalah sistem gabungan, atau bahwa itu adalah operator kepadatan. Ini akan benar untuk semua operator, dan setiap ortonormal.

Setelah Anda menerapkan kedua sisi persamaan ke vektor basis, salah satu cara untuk melanjutkan adalah membalik kedua suku dan menggunakan resolusi identitas.