Membangun resolusi proyektif dari kompleks rantai

Dec 02 2020

Saya mencoba untuk membangun resolusi proyektif dalam kategori kompleks rantai

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

Sepertinya mungkin untuk melakukan ini dalam hal resolusi proyektif $M$ tapi saya benar-benar terjebak.

Saya tahu kompleks rantai proyektif dipisahkan secara tepat dan dibentuk oleh proyektif, jadi jika kita menganggap resolusi sebagai kompleks ganda setengah bidang, kolom dengan $M$ harus menjadi resolusi proyektif $M$.

Saya mencoba menggunakan trik $0 \to P \to P \to 0$ adalah kompleks proyektif kapan pun $P$ bersifat proyektif, tetapi jika saya menempatkan itu di atas kompleks kita, kita tidak perlu mendapatkan ketepatan.

Jawaban

4 JeremyRickard Dec 03 2020 at 04:49

Jika $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ adalah resolusi proyektif $M$ sebagai modul, lalu $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ memiliki resolusi (dengan kompleks rantai proyektif) dalam kategori kompleks rantai dengan bentuk berikut (Saya akan membiarkan Anda mencari tahu perbedaannya):

$\require{AMScd}$ \ mulai {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Somerandommathematician Dec 02 2020 at 23:58

Dalam hal ini, Anda termasuk dalam kategori kompleks yang dibatasi di atas, di mana a $\textit{projective resolution}$ kompleks (dalam hal ini $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$) berarti kompleks proyektif yang dibatasi di atas $P$ dengan kuasi-isomorfisme $P\rightarrow \bar{M}$. Jadi, jika Anda mengambil resolusi proyektif biasa sebesar$M$ sebagai modul, $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ kita dapat membangun resolusi proyektif $\bar{M}$ sebagai berikut $\require{AMScd}$ \ mulai {CD} \ cdots @ >>> P ^ {- 1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {- 2}} VV @V {f ^ {- 1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD} di mana panah$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ jelas merupakan kuasi-isomorfisme.

Dalam kategori homotopic $K(\mathscr{A})$ (dimana $\mathscr{A}$ adalah kategori abelian seperti kategori modul di atas ring) Anda dapat menggeneralisasi ini dan membicarakannya $K$Resolusi -proyektif, kompleks $X$ di $K(\mathscr{A})$ yang memverifikasi itu $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.

Hal baiknya adalah jika $P$ adalah kompleks proyektif yang dibatasi di atas, maka adalah $K$-proyektif.