Membantu dengan bukti konsekuensi dari aksioma penjumlahan dan perkalian

Question

Saat membaca Analisis 1 oleh Vladimir A. Zorich, saya menemukan bukti ini yang memiliki 1 langkah yang tidak saya mengerti. Berikut konsekuensi dan buktinya:

Untuk setiap $x\in \mathbb R$ berikut ini benar

$$-x=(-1)\cdot x$$

Bukti. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. Asumsi tersebut mengikuti keunikan negatif sebuah angka.

Akhir pembuktian.

Bagian underbraced adalah apa yang gagal saya pahami. Aksioma penjumlahan dan perkalian apa yang digunakan untuk membuat ekspresi itu?

Answer 1

Catat itu $1\in\Bbb{R}$ adalah elemen khusus dari himpunan dengan properti that for every $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Selanjutnya, kami juga menggunakan hukum distributif itu untuk semua$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Karenanya, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {properti dari$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {hukum distributif} \ end {align} Sisa bukti mengikuti setelah Anda menetapkannya untuk setiap$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

prinsipnya adalah distribusi: $a(b+c) = ab + ac$.

Jadi buktinya seperti ini:

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (dengan keberadaan dan definisi identitas multiplikatif)

$=(1+(-1))\cdot x$ (berdasarkan distribusi)

$=0\cdot x$ (menurut definisi aditif invers)

$=x\cdot 0$ (pergantian perkalian tetapi saya tidak tahu mengapa dia melakukan ini)

$= 0$(Ini bukan aksioma tetapi proposisi dapat dibuktikan$0\cdot x = 0$. Sudahkah Anda membuktikannya? Apakah Spivak menggunakan itu sebagai aksioma?)

Kemudian menurut definisi kami memiliki itu untuk setiap $x$ ada yang unik $-(x)$ yang seperti itu $x + (-x) = 0$.

Jika kita pernah memiliki file $a$ yang seperti itu $x + a = 0$ pasti begitu $a=-x$karena pembalikan perkalian itu unik. Sebagai$x + (-1)x =0$ itu pasti $(-1)x = -x$.

======

Menopang: $x\cdot 0 = 0$.

Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Setiap elemen$a$, termasuk $x\cdot 0$, memiliki kebalikan aditif, $-a$, yang seperti itu $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ karena $0$ adalah identitas aditif dan $a +0 = a$ untuk semua $a$, termasuk kapan $a$ adalah $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (distribusi)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (asosiatif)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (definisi identitas aditif)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ untuk semua $a$ menurut definisi identitas aditif.)