Membatasi polinomial dengan penjumlahan dengan sifat tertentu

Question

Menetapkan $f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ oleh $f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

Pertanyaan: Apakah ada fungsi kontinu$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, memuaskan

1. $g(x,y)=0$ jika dan hanya jika $xy=1$.
2. $h(x,y)=0$ jika dan hanya jika $x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

Komentar: Motivasi berasal dari kasus itu$x,y$ diartikan sebagai nilai tunggal a $2 \times 2$matriks. Kemudian$f(x,y)$ adalah jarak dari matriks $\operatorname{SO}(2)$. $g$ dan $h$ diinterpretasikan sebagai ukuran untuk deviasi matriks dari pengawetan area dan konformal, masing-masing.

Answer 1

Membiarkan $z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. Kemudian$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

Sekarang siap $G(z) = z^2 - 2i$. Kemudian$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

Menghitung $\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$ dan dengan demikian $$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$ jika dan hanya jika $\Re z + \Im z \ge 0$, yang memang benar jika $x \ge 0, \, y \ge 0$.

Oleh karena itu sekarang Anda punya untuk $x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$ dan Anda bisa membaca $g$ dan $h$.