Membiarkan $\{x_n\}$ menjadi berurutan $(0, 1)$ seperti yang $x_n \to 0$. Tunjukkan urutannya $\{f(x_n)\}$ bertemu.

Question

Saya mencoba memecahkan masalah berikut:

Seandainya $f: (0, 1) \to \mathbb R$terus menerus secara seragam. Membiarkan$\{x_n\}$ menjadi berurutan $(0, 1)$ seperti yang $x_n \to 0$. Tunjukkan urutannya$\{f(x_n)\}$ bertemu.

Saya pikir jika sama sekali $f(x_n)$ menyatu, itu harus menyatu $f(0)$ tapi saya tidak yakin ini mengikuti dari teorema mana (?).

Kedua, jika kita mengatakan berurusan dengan interval $[0, 1]$ daripada $(0, 1)$Saya rasa saya punya ide tentang bagaimana melakukan pendekatan. Sejak$f(x)$ akan terus menerus secara seragam $[0, 1]$ untuk setiap $\epsilon > 0$ kami akan memiliki $\delta_\epsilon$ seperti itu jika $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ kemudian $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Sejak,$x_n \to 0$ Saya pikir kita selalu bisa memilih beberapa $N \in \mathbb N$ seperti itu $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Jadi kami memiliki itu untuk semua$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ untuk beberapa pilihan $\epsilon > 0$.

Tapi di sini kita berurusan dengan interval terbuka $(0, 1)$ daripada $[0, 1]$ dan karena itu kami tidak dijamin untuk setiap $\epsilon > 0$ kami akan memiliki $\delta_\epsilon$ seperti itu jika $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ kemudian $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Ini karena definisi kontinuitas seragam hanya mengatakan:

Membiarkan $(X, d_X)$ dan $(Y, d_Y)$ menjadi dua ruang metrik dan biarkan $f: X \to Y$. Kami mengatakan itu$f$ terus menerus secara seragam jika untuk semua $\epsilon > 0$ ada sebuah $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ seperti itu untuk semua $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Tapi perhatikan itu dalam kasus $f: (0, 1) \to \mathbb R$ inti nya $0$ tidak terletak $(0, 1)$! Jadi kami tidak menjamin itu untuk semua$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, dimana $X = (0, 1)$ dan $Y = \mathbb R$ dalam konteks ini.

Ada ide bagaimana memperbaiki bukti ini? Juga, kenapa harus$f(x_n)$ selalu menyatu dengan $f(0)$ jika $x_n \to 0$? Apakah ini beberapa properti khusus dari fungsi berkelanjutan yang seragam?

Answer 1

Tunjukkan, menggunakan kontinuitas seragam $f$, itu $(f(x_n))_n$ adalah urutan Cauchy. $f(0)$ tidak ditentukan dalam pengaturan Anda (domain $f$ adalah $(0,1)$) sehingga Anda tidak dapat menyimpulkannya $f(x_n) \to f(0)$. Namun, sejak itu$\Bbb R$selesai, urutannya memiliki batas. Perhatikan bahwa fungsi kontinu seragam adalah kontinu, oleh karena itu jika sebuah fungsi$g$ didefinisikan pada $[0,1]$ Maka secara seragam kontinu, menjadi kontinu tertentu, memang benar $g(x_n)\to g(0)$.

Answer 2

Salah satu pendekatannya adalah dengan menggunakan fakta bahwa jika $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ terus menerus secara seragam $(a,b)$, kemudian $f$ mengakui ekstensi kontinu seragam yang unik ke $[a,b]$. Untuk kasus ini, Anda dapat menentukan nilai secara unik$f(0)$ seperti yang $f:[0,1)\to\mathbb{R}$terus menerus secara seragam. Kemudian Anda bisa menyimpulkan itu$f(x_n)\to f(0)$ dengan kontinuitas.

Answer 3

Karena f (x) kontinu, $\forall \epsilon, \exists \delta$ seperti itu ketika $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.

Untuk $x_n\to 0$, $\exists N,$ seperti itu ketika $n>N, |x_n-0|<\delta$.

Karena itu $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ bertemu.

---

Koreksi: seperti yang dikatakan @FormulaWriter, $f(0)$ tidak jelas, jadi lebih baik diganti $f(0)$ di atas sebagai $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.