Membuktikan batasan menggunakan definisi batas

Aug 20 2020

Inilah pertanyaan (disediakan untuk konteks) tentang membuktikan batas dengan menggunakan definisi batas:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left({x^2} + x - 11\right) = 9$

Jadi, mari kita mulai. Membiarkan$\varepsilon > 0$ menjadi nomor berapa pun maka kita perlu mencari nomor $\delta > 0$ sehingga yang berikut ini akan benar.

$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \delta$

sedikit menyederhanakan

$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| = \left| {{x^2} + x - 20} \right| = \left| {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right)} \right| = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$

jika, secara kebetulan, kami dapat menunjukkannya $\left| {x + 5} \right| < K$ untuk beberapa nomor $K$ kemudian, kita akan mendapatkan yang berikut ini

$\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < K\left| {x - 4} \right|$

Jika sekarang kita berasumsi bahwa apa yang sebenarnya ingin kita tunjukkan adalah $K\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ dari pada $\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ kami mendapatkan yang berikut,

$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K}$

Semua ini berdasarkan asumsi yang bisa kami tunjukkan $\left| {x + 5} \right| < K$ untuk beberapa $K$. Untuk melakukan ini kami berasumsi bahwa apa pun$x$ apakah itu harus dekat $x=4$karena kami bekerja dengan batas. Jadi mari kita asumsikan itu$x$ berada dalam jarak salah satu $x=4$. Dalam hal ketimpangan bisa kita asumsikan

$\left| {x - 4} \right| < 1$

Dimulai dengan menghapus bilah nilai absolut yang kita miliki

$- 1 < x - 4 < 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3 < x < 5$

Jika sekarang kita menambahkan 5 ke semua bagian dari ketidaksetaraan ini kita dapatkan,

$8 < x + 5 < 10$

Sekarang, sejak $x + 5 > 8 > 0$ (bagian positifnya penting di sini) kita bisa katakan itu, asalkan $\left| {x - 4} \right| < 1$ kami tahu itu $x + 5 = \left| {x + 5} \right|$. Atau, jika mengambil ketidaksetaraan ganda di atas yang kita miliki,

$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$ $\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}K = 10$

Jadi, asalkan $\left| {x - 4} \right| < 1$ kita bisa melihat itu $\left| {x + 5} \right| < 10$ yang pada gilirannya memberi kita,

$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K} = \frac{\varepsilon }{{10}}$

sumber

Bagaimana kita keluar dari ketidaksetaraan ganda ini $8 < x + 5 < 10$ untuk ini $8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$. Dari apa yang saya pahami$|{x + 5}| < 10 $ juga bisa ditulis sebagai $-10<x + 5<10$, kemudian pernyataan penulis:

$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$

seharusnya tidak benar karena tidak termasuk bagian dari interval itu $|{x + 5}| < 10 $ termasuk (interval yang dapat dilihat ketika ketidaksamaan nilai absolut diperluas menjadi ketidaksetaraan ganda yaitu $-10<x + 5<10$)

Jawaban

Francesco_Trig Aug 20 2020 at 15:43

Anda bekerja dengan asumsi tersebut $|x-4|<1$, itu berarti $3<x<5$. Begitu$x+5=|x+5|$ karena $x+5$ selalu positif bila $x \in (3,5)$.

enzotib Aug 20 2020 at 19:54

Kamu punya $$ |x+5|=|x-4+9|\leq|x-4|+9\leq\delta+9 $$ begitu $$ |x-4||x+5|\leq\delta(\delta+9)<\varepsilon $$ dan Anda dapat melihat bahwa Anda dapat memilih $$ 0<\delta<\frac{9}{2} \left(\sqrt{1+\frac{4\varepsilon}{81}}-1\right). $$