Membuktikan ketidaksetaraan bersyarat Hölder menggunakan distribusi bersyarat reguler
Saya mencoba membuktikan ketidaksetaraan bersyarat Hölder menggunakan distribusi bersyarat biasa. Ketimpangan yang saya coba buktikan adalah:
Untuk $p,q \in (1,\infty)$ dengan $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, dan untuk $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ dan $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, dan untuk $\mathcal F \subset \mathcal A$ sebuah sub-$\sigma$-aljabar, hampir pasti kita punya $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
Saya telah menemukan banyak bukti tentang fakta ini, tetapi saya secara khusus mencoba membuktikannya menggunakan teorema distribusi bersyarat biasa:
Membiarkan $X$ menjadi variabel acak pada $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ dengan nilai-nilai dalam ruang Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ adalah sub-$\sigma$-aljabar, dan $\kappa_{X,\mathcal F}$ distribusi bersyarat reguler $X$ diberikan $\mathcal F$. Selanjutnya, biarkan$f : E \to \mathbb R$ terukur dan $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Kemudian,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P.$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$
Menerapkan ketidaksetaraan Young dan monotonicity dan linearitas ekspektasi bersyarat memberi saya $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$tapi saya kesulitan untuk beralih dari sini ke ketidaksetaraan yang diinginkan. Alternatifnya, ketidaksetaraan Hölder standar memberi kita$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, jadi hasil di atas juga menyiratkan $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Tetapi kedua pendekatan ini telah membawa saya ke argumen melingkar atau menggunakan ukuran yang menurut saya tidak ada secara formal (seperti $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ untuk tetap $\omega\in\Omega$). Ada saran atau tempat lain untuk dilihat?
Jawaban
Membiarkan $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ jadilah proyeksi $\pi_1(x,y) = x$ dan $\pi_2(x,y) = y$. Setelah ditayangkan$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ oleh hasil yang dikutip pada distribusi bersyarat reguler, yang terbatas untuk ae $\omega\in\Omega$. Begitu$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, dan serupa $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, untuk ae $\omega\in\Omega$. Jadi, \ mulai {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {oleh hasil yang dikutip pada distribusi bersyarat reguler;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ kanan) ^ {1 / p} \ kiri (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {oleh standar ketidaksamaan Hölder diterapkan ke} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ kiri [| X | ^ p \, \ besar | \, \ mathcal F \ kanan] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ kiri [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {menurut hasil yang dikutip dan menggunakan properti ukuran gambar dari$\kappa_{X,\mathcal F}$ dan $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}
Bagaimana kalau memulai dengan $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
Jika $Z$ adalah $\mathcal F$ terukur, kemudian $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
Untuk menghindari masalah nol dan tak terbatas, terapkan dulu ke $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, dan juga untuk $Y$, lalu biarkan $\epsilon \to 0+$, dan $N \to \infty$.
Tentu saja, ketika Anda melakukan ketidaksetaraan Young di awal, pengenalan distribusi bersyarat reguler adalah langkah ekstra yang tidak ada gunanya.
Sekali lagi, saya tidak menjawab pertanyaan Anda. Tapi ini terlalu besar untuk dikomentari.
Saat membuktikan ketidaksetaraan Pemegang standar, kami sebenarnya menggunakan ketidaksetaraan Young dalam bentuk ini: untuk apa pun $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ dari mana Anda mendapatkan $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Kemudian Anda menggunakan: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Ini hanya menempatkan kondisi kesetaraan ke dalam ketidaksetaraan Young.) Dalam membuktikan bentuk bersyarat dari ketidaksetaraan Holder, yang paling kecil akan diambil alih $\lambda$ positif $\mathcal F$-fungsi terukur.
Tapi apa yang dikatakan ini adalah bahwa jika Anda ingin menggunakan distribusi reguler bersyarat, Anda benar-benar harus menggunakan bentuk ketidaksetaraan Young yang saya tulis di atas.