Membuktikan $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[duplikat]
Saya perlu membuktikan$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$tapi aku kehabisan akal. Saya telah menjelajahi web tetapi saya hanya dapat menemukan contoh/jawaban yang membuktikan kebalikan = 0 dan saya telah mencoba banyak metode sendiri tetapi tidak berhasil (istilah yang diperluas, Aturan L'Hopitals dengan turunan berbeda yang tak terhitung jumlahnya yang semuanya salah). Adakah yang bisa mengarahkan saya ke arah yang benar, saya benar-benar terjebak ...
Jawaban
Perhatikan bahwa$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Dengan menggambar grafik yang relevan, Anda dapat melihat:
$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$
$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$
Sekarang hitung integralnya$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, sehingga di atas menjadi
$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$
Dan sekarang kami mendapatkan hasil Anda dengan teorema pemerasan, setelah membagi.
$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$dan sebagainya$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$
Saat Anda mengevaluasi batas batas atas ini, Anda akan mendapatkan$2$sejak$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Namun, jika Anda memilih$\epsilon >1$, kamu melihat
$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$dan sebagainya$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$
dan sejak$\epsilon>1$(sewenang-wenang), Anda dapat menyimpulkan bahwa$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$
(Anda dapat dengan mudah mendapatkan batas bawah) dan batasnya harus$1$.
Menggunakan$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$kita punya$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$
Tambahan.
Untuk sisi kiri langkah pertama induksi sudah jelas. Kemudian$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$karena$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$setara$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.
Untuk sisi kanan$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$
$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$
Menerapkan aturan L'Hôpital,
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$
Menerapkan lagi, hasil
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$
Penyebutnya mendekati 1 sebagai$x\rightarrow \infty$.