Membuktikan monotonisitas fungsi implisit
Saya sedang mempelajari properti fungsi Beta dan saya menemukan persamaan berikut:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$
dimana $\text{B}$ singkatan dari fungsi Beta.
Saya bisa menunjukkan itu untuk setiap $\alpha>0$, ada yang unik $k \in (0,\infty)$st persamaan di atas berlaku. Yang menarik bagi saya adalah ketika saya memplot grafik$k$ istilah dari $\alpha$ di Wolfram, ternyata $k$ sebenarnya adalah fungsi yang menurun secara ketat $\alpha$.
Saya tidak dapat membuktikan klaim di atas, tetapi saya memiliki beberapa intuisi. Mengintegrasikan dengan bagian menghasilkan bahwa persamaan di atas setara dengan:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$
Jadi ketika $\alpha$ besar, istilahnya $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ didominasi pada $\lambda=1/2$. Karena itu,$2k/4$ harus tetap dekat $1$demikian juga. Kapan$\alpha$ kecil, $k$ harus jauh lebih besar dari $2$ untuk mengimbangi bagian mana $\lambda$ menjauh dari $1/2$.
Setiap petunjuk / saran sangat dihargai.
Jawaban
Membiarkan $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Dengan Teorema Fungsi Implisit yang diterapkan$R\left(a,k\right)=0$ kita punya
$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$
karena $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ dan $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Beri tahu saya jika sudah jelas.