Membuktikan properti dari bentuk diferensial nyata dan mengintegrasikannya
Saya mencoba menyelesaikan latihan berikut, tetapi saya tidak yakin apakah solusi saya benar dan jika mungkin saya ingin mendapatkan beberapa informasi latar belakang tentang latihan tersebut.
Latihan: Biarkan$$\omega = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n$$ menjadi diferensial $(n-1)$-bentuk lebih $\mathbb{R}^n$. Notasi topi seharusnya diartikan sebagai bentuk${\rm d}x_i$ dijatuhkan dari produk irisan di $i$-th sumand.
a) Tunjukkan itu${\rm d}\omega = n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n$.
b) Biarkan$n = 3$. Menghitung$${\rm d}\omega\left(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \right)$$
c) Hitung $\int_{[0,1]^n} {\rm d}\omega$.
Solusi saya: a) Saya mencoba membuktikan klaim tersebut dengan induksi. Untuk$n = 2$ kita punya $\omega = x_1{\rm d}x_2 - x_2{\rm d}x_1$ dan dengan demikian $${\rm d}\omega = {\rm d}(x_1)\wedge {\rm d}x_2 - {\rm d}(x_2)\wedge {\rm d}x_1 = {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2 + {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2 = 2 {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2.$$ di mana persamaan kedua mengikuti dari antikomutatifitas $\wedge$. Sekarang untuk langkah induksi yang kita miliki\begin{align*} {\rm d} \omega &= {\rm d}\left( \sum_{i = 1}^{n+1} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n+1}\right)\\ &= {\rm d}\left(\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n+1} + (-1)^n x_{n+1} \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right)\\ &= {\rm d}\left(\left[\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right]\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^n x_{n+1} \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right)\\ \end{align*} di mana di baris terakhir saya memfaktorkan keluar ${\rm d}x_{n+1}$seperti yang ada di masing-masing persyaratan penjumlahan. Sekarang, untuk sedikit merapikan notasi biarkan jumlahnya dilambangkan dengan$\omega_n$. Kemudian dengan linearitas dan aturan hasil kali${\rm d}$ kita punya \begin{align*} {\rm d} \omega = {\rm d}(\omega_n)\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{n-1}\omega_n{\rm d}^2x_{n+1} + (-1)^{n}{\rm d}x_{n+1} \wedge {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n} \end{align*} Sekarang kita dapat menggunakan hipotesis induksi pada suku pertama, suku kedua sama dengan nol, karena ${\rm d}^2x_i = 0$. Begitu\begin{align*} {\rm d} \omega &= n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{n}{\rm d}x_{n+1} \wedge {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\\ &= n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{2n}{\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1}\\ &= (n+1)\cdot{\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1}. \end{align*} tempat saya menggunakan $\wedge$-antantika komunikatif $n$ waktu untuk mendapatkan ${\rm d}x_{n+1}$ke posisi yang benar.
b) Pada bagian ini, notasi sedikit membingungkan saya. Sesungguhnya${\rm d}\omega$ adalah $3$bentuk -diferensial dan dengan demikian saya mengharapkan sesuatu seperti ${\rm d}\omega(x)(v_1,v_2,v_3)$ dimana $x, v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}^3$. Saya kira argumen pertama dibatalkan sejak kami menunjukkannya${\rm d}\omega$ menghasilkan bolak-balik konstan $3$-bentuk untuk diperbaiki $n$. Karena dua masukan sama dan${\rm d}\omega$ adalah bergantian yang seharusnya kita miliki ${\rm d}\omega(v_1, v_2, v_1) = 0$.
c) Saya masih agak bingung ketika harus mengintegrasikan bentuk diferensial, tetapi menurut saya ini harus berhasil:$$\int_{[0,1]^n} {\rm d}\omega = \int_{[0,1]^n} n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n} = n \cdot \int_{[0,1]^n} {\rm d}\lambda^n(x) = n \cdot \lambda^n([0,1]^n) = n.$$ Sini $\lambda^n$ seharusnya menunjukkan $n$-dim Lebesgue mengukur $\mathbb{R}^n$.
Pertanyaan tambahan : Apakah bentuk diferensial yang diberikan$\omega$memiliki kegunaan atau arti tertentu? Apakah ada solusi yang lebih singkat untuk bagian b) yang saya lewatkan? Terima kasih!
Jawaban
Bagian (a) memiliki solusi yang lebih cepat, induksi sama sekali tidak diperlukan. Salah satu definisi yang mungkin dari$d$ adalah menulis pertama $\omega = \sum_I a_I dx^I$, dimana $I$ adalah kombinasi angka antara $1$ dan $n$, $a_I = a_{i_1 \dots i_k}$ dan $dx_I:= dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$, lalu kami tentukan $d\omega := \sum_I (da_I)\wedge dx_I$. Jadi, dalam kasus Anda,\begin{align} d\omega &:= \sum_{i=1}^nd((-1)^{i-1}x_i) \wedge dx_1 \wedge\cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots dx_n \\ &= \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}dx_i \wedge dx_1 \wedge\cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots dx_n \\ &= \sum_{i=1}^n dx_1 \wedge \cdots\wedge dx_n \\ &= n \cdot dx_1 \cdots \wedge \wedge dx_n \end{align} (dengan beberapa latihan, perhitungan ini menjadi "jelas" seperti $(a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3$)
Untuk bagian (b) ya, yang tertulis secara teknis merupakan penyalahgunaan notasi, karena $d\omega$ menjadi seorang diferensial $n$-bentuk pada manifold $M$ berarti Anda harus mencolokkan dulu $p\in M$, mendapatkan $d\omega(p)$, dan kemudian diberi vektor tangen $\xi_1, \dots, \xi_n \in T_pM$, Anda dapat menyambungkannya untuk mendapatkan nomor $d\omega(p)[\xi_1, \dots, \xi_n] \in \Bbb{R}$. Tetapi solusi Anda benar (yang menurut saya sesingkat mungkin) karena sifat bolak-balik dari bentuk diferensial.
Bagian (c) benar.
Adapun kegunaan $\omega$, satu hal yang dapat saya pikirkan adalah jika Anda membiarkannya $\iota:S^{n-1}\to \Bbb{R}^n$ menjadi pemetaan inklusi, lalu tarik-mundur $\iota^*\omega$ adalah bentuk volume pada bola satuan $S^{n-1}$. Misalnya, jika$n=2$, ini adalah $\omega = x dy - y dx$, sedangkan untuk $n=3$ ini menjadi \begin{align} \omega &= x\, dy \wedge dz - y\, dx \wedge dz + z\, dx\wedge dy \\ &= x\, dy \wedge dz + y\, dz \wedge dx + z\, dx\wedge dy \end{align} Lebih umum jika Anda mengambil file $m$berjenis berorientasi -dimensi $M$ dengan bentuk volume $\mu$, dan $m-1$-dimensi tertanam submanifold $N\subset M$ (yaitu permukaan hiper), dengan bidang vektor normal luar unit $\nu$, lalu dengan mengambil (penarikan kembali ke $N$ dari) produk interior $\iota_{\nu}\mu$, Anda mengaktifkan formulir volume $N$.
Dalam notasi yang lebih umum (dan dengan menekan pullback dari notasi), kami menulisnya sebagai $d^{n-1}V = \iota_{\nu}(d^nV) \equiv \nu \lrcorner d^nV$, atau dalam kasus $n=3$, kami menulis ini sebagai $dA = \nu \lrcorner dV$.
Saya tidak tahu penggunaan khusus dari $\omega$. Tampaknya dibangun hanya untuk bagian (a) untuk dipegang. Saya pikir solusi Anda untuk bagian (b) dan (c) sudah benar dan bagus. Anda mungkin dapat melakukan bagian (a) untuk induksi seperti yang Anda lakukan, tetapi saya pikir jika Anda hanya menggunakan rumusnya$${\rm d} \left(\alpha_I {\rm d}x^I\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \alpha_I}{\partial x^i} {\rm d}x^i\wedge {\rm d}x^I$$ itu mengikuti secara langsung.