Membuktikan suatu fungsi $\pi$ dari $U(q) \to U(q')$ untuk menjadi ke
Pertanyaan khusus ini ditanyakan dalam kuis aljabar abstrak saya dan saya tidak dapat menyelesaikannya.
Membiarkan $q ,q' \in \mathbb{N} $ dan biarkan $q'\mid q$. Membiarkan$U(m)$ menunjukkan kelompok perkalian dari kelas residu coprime ke $m$. Membiarkan$\pi: U(q) \to U(q')$ menjadi seperti itu jika $a \in U(q)$, $\pi(a)$ adalah elemen unik di $U(q')$ seperti yang $a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.
Lalu tunjukkan itu $\pi$ ke.
Percobaan - Saya bingung. Yang bisa saya tunjukkan hanyalah itu$a$ bukan nol sebagai $a$ Milik $U(q)$ dan $a \not \equiv 0 \pmod {q'}$ sebagai $\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Tapi jelas tidak cukup untuk membuktikan.
Mohon, berikan sedikit petunjuk. Istirahat Saya ingin bekerja sendiri.
Jawaban
Petunjuk: Biarkan $y\in\Bbb Z$ seperti yang $\gcd(y,q')=1$. Menurut Teorema Sisa Cina ada$k\in\Bbb Z$ seperti yang $y+kq'\equiv 1\pmod p$ untuk setiap pembagi utama $p$ dari $q$ yang tidak membelah $q'$.
Bukti rinci: Biarkan$P$ menjadi himpunan pembagi prima dari $q$ yang tidak membelah $q'$. Menurut Teorema Sisa Cina ada$k\in\Bbb Z$ seperti yang $$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$ untuk setiap $p\in P$. Untuk setiap$p\in P$, dari $p\nmid q'$ mengikuti $q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, karenanya $y+kq'\equiv 1\pmod p$.
Catat itu $\gcd(y+kq',q)=1$. Untuk membiarkan$p$ menjadi pembagi utama dari $\gcd(y+kq',q)$. Kemudian$p|q$. Jika$p|q'$, kemudian $p|y$ yang bertentangan $\gcd(y,q')=1$. Sebaliknya, jika$p\nmid q'$, kemudian $p\in P$, karenanya $y+kq'\equiv 1\pmod p$ yang bertentangan $p|(y+kq')$.
Jika $\bar x$ menunjukkan kelas residu dari $y+kq'$ modulo $q$ dan $\bar y$ kelas residu dari $y$ modulo $q'$, kemudian $\bar x\in U(q)$ dan $\bar y=\pi(\bar x)$.
Kami mempertimbangkan tiga kasus:
$𝑞′ = 𝑝^{\alpha},\, 𝑞=𝑝^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\,𝑝 \text{ prime}$
$q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$
$q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$
kasus 1: Biarkan $a\in\mathbb{Z}$: $$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$ kita punya $\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$
kasus 2: dengan teorema sisa Cina: \begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}
begitu \begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*} setiap $\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$ begitu ekspresif $\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.
- kasus 3: Biarkan $a\in\mathbb{Z}$ st $a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. Begitu$gcd(a,q_1) = 1$ Persamaannya $$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$ mengakui solusi: \begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*} dimana $n_0, m_0$ adalah solusi tertentu dari persamaan.
kami ingin mencari solusi untuk persamaan: $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$
persamaan pertama sama dengan $n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$ begitu \begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$ begitu pemetaannya \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}bersifat injeksi, jadi bersifat surjective; disana ada$s_0\in\mathbb{Z}$ st $gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Kami meletakkan$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$ Dengan argumen yang sama, pemetaan: \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*} bersifat dugaan, jadi persamaannya $m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$ mengakui solusi $m_0^{\prime}, t_0$. Akhirnya kami taruh$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, jadi kami telah menemukan solusi tertentu $s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$ ke persamaan $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ kami meletakkan $b = a -s_0 q_1$; kita punya$b\in U(q_1q_2)$ dan $\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; jadi kami telah membuktikannya$\pi$ bersifat dugaan.
secara konseptual kami telah membuktikan bahwa ketiga diagram tersebut adalah komutatif
dimana $cr_{\star}$ adalah isomorfisme yang diberikan oleh teorema sisa Cina, jadi kami menyimpulkan perkiraan homomorfisme yang diinginkan dari perkiraan yang lain