Membuktikan Subset Tertentu adalah Subkompleks CW

Question

Saya mengalami masalah dengan detail dalam bukti dari Hatcher's Algebraic Topology (Prop. A.1 di p. 520 bagi mereka yang tertarik, meskipun menurut saya ini tidak relevan): Kami memiliki kompleks CW$X$ dan sebuah $n$-sel $e_\alpha^n \subset X$, dan gambar peta pelekatan sel ini terkandung dalam subkompleks berhingga $A \subset X$. Hatcher mengklaim itu$A \cup e_\alpha^n$adalah subkompleks terbatas, tetapi saya kesulitan memahami alasannya. Saya mencoba untuk menunjukkan bahwa batas$e_\alpha^n$ terkandung dalam $A$tapi aku tidak ke mana-mana. Apakah benar secara umum penutupan file$n$-cell apakah penyatuannya dengan gambar peta yang melampirkan?

EDIT: Saya ingin membuktikan ini tanpa menyebutkan fakta bahwa kompleks CW adalah Hausdorff, karena buku tersebut belum membuktikannya.

Answer 1

Sangat, sangat mudah untuk menunjukkan kompleks CW adalah Hausdorff, sertakan dalam bukti Anda jika Anda mengkhawatirkannya.

Dengan fakta ini, penutupan sel terbuka $e \rightarrow X$ adalah gambar dari $e \cup S^n \rightarrow X$diberikan dengan dimasukkannya sel terbuka dan peta karakteristik di perbatasan. Hal ini karena$e \cup S^n = D^{n+1}$adalah kompak, dan citra dari satu set kompak yang dalam ruang Hausdorff menyiratkan tertutup. Ini adalah set tertutup terkecil yang berisi gambar dari$e$ karena titik mana pun dalam gambar peta karakteristik ada di batas gambar $e$.