Memecahkan persamaan non-linier bentuk $\mathbf x = A f(\mathbf x)$

Question

Membiarkan $A$ menjadi nyata, dapat dibalik $n\times n$matriks. Saya tertarik untuk menemukan vektornya$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ yang menyelesaikan persamaan berikut:

$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$

Dimana $\tanh$diterapkan secara elemen. Secara lebih umum, kita dapat mempertimbangkan jenis non-linearitas lain daripada$\tanh$ (tapi selalu diterapkan berdasarkan elemen).

Apakah ada pendekatan umum untuk mempelajari solusi dari jenis persamaan ini? Mungkin memanfaatkan dekomposisi eigen dari$A$?

Saya menambahkan tag "referensi-permintaan" jika seseorang dapat menyarankan referensi yang relevan ke literatur.

Answer 1

Dalam kasus 2D, persamaannya mengambil bentuk $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$

dan setelah eliminasi $y$, kami mendapatkan persamaan nonlinier univariat $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Kami tidak melihat penyederhanaan atau koneksi tertentu dengan nilai Eigen.

---

Saya telah melihat kasus numerik dengan empat solusi positif yang berbeda.