Memecahkan sistem persamaan nonlinier: menunjukkan keunikan atau banyaknya solusi

Question

Pertimbangkan sistem ini $12$ persamaan $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ dimana

• $\alpha \in \left[0,1\right]$

• $p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$

• $c_{i}, d_{i}, e_{i}$ adalah bilangan real $\forall i = 1, 2, 3, 4$.

Saya ingin menunjukkan bahwa sistem persamaan ini memiliki (atau tidak memiliki) solusi unik sehubungan dengan $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Bisakah Anda membantu?

---

---

Inilah yang telah saya coba dan di mana saya ditumpuk. Membiarkan $i = 1$. Dari persamaan kedua, kita dapatkan $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ pemberian yang mana $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ Dari persamaan pertama bisa didapat $p_{1}$. Dari persamaan lain, saya kira seseorang dapat memperolehnya secara analog $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.

Apakah ini cukup untuk menunjukkan bahwa sistem tidak memiliki solusi unik? Atau, apakah ada cara untuk mengecualikan salah satunya$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?.

Answer 1

Seperti yang Anda perhatikan, empat persamaan kedua dikurangi menjadi $\alpha-\alpha^2=d_i$. Jadi kondisi yang diperlukan agar sistem memiliki solusi adalah$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. Persamaan yang tersisa dikurangi menjadi$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ Itu mengikuti $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. Ini adalah kondisi lain yang diperlukan agar sistem memiliki solusi. Kami berasumsi bahwa kedua kelompok kondisi yang diperlukan berlaku. Sekarang kasus berikut mungkin terjadi.

1)) $d=\tfrac 14$. Kemudian$\alpha=\tfrac 12$. Kemudian$p_i$ tidak ditentukan oleh sistem, dan memiliki solusi (tidak unik) iff $e_i=\alpha^2=\frac 14$ untuk setiap $i$

2)) $0\le d<\frac 14$. Lalu ada dua pilihan yang mungkin$\alpha_1$ dan $\alpha_2$ untuk $\alpha$ dan

$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$

Kita punya $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ untuk setiap $i$. Jika kondisi ini gagal untuk beberapa orang$i$, maka sistem tidak memiliki solusi. Jika tidak, ia memiliki dua solusi, satu untuk masing-masing$\alpha_j$.