Memeriksa kapan fungsi nyata kontinu dalam interval yang monotonik [tertutup]

Question

Saya sedang meninjau ujian Analisis Nyata 1 saya dan saya menemukan teorema ini:

Membiarkan $f : I \to \mathbb R$ menjadi fungsi, di mana $I\subseteq\mathbb R$adalah sebuah interval. Seandainya$f$ bersifat monotonik $I$, Maka pernyataan pernyataan berikut adalah sama:

• $f$ terus menerus dalam $I$
• $f(I)$ adalah sebuah interval

Saya hampir selesai dengan ujian ini tetapi saya tidak pernah menggunakan persamaan ini dalam praktiknya, pertanyaan saya adalah: dapatkah Anda memberi saya beberapa contoh di mana mempelajari gambar suatu interval lebih mudah atau lebih berguna daripada langsung memeriksa batas fungsi, untuk mengetahui kapan suatu fungsi kontinu?

Answer 1

Salah satu cara untuk menunjukkan bahwa fungsi Cantor bersifat kontinu adalah dengan menunjukkan bahwa fungsinya tidak menurun dan memiliki citra$[0,1]$.