Meminimalkan varian vs. kekurangan yang diharapkan: distribusi di mana perbedaannya menonjol

Aug 19 2020

Dalam teori portofolio di bidang keuangan, diberikan satu set $n$aset untuk dipilih, seseorang sering memilih bobot portofolio untuk memaksimalkan pengembalian yang diharapkan dan meminimalkan beberapa ukuran risiko, misalnya varians atau kekurangan yang diharapkan *. Jika kami menganggap pengembalian aset sebagai variabel acak, kami mencari kombinasi linier, dengan bobot yang dijumlahkan hingga satu, variabel acak yang memiliki nilai yang diharapkan tinggi dan ukuran risiko yang rendah. Mari kita pertimbangkan hanya dua aset,$n=2$, dan anggaplah pengembalian yang diharapkan dari semua aset sama dengan konstanta yang sama, misalnya nol.

Pertanyaan:

  1. Apa sajakah distribusi bivariat yang memungkinkan meminimalkan varians tetapi mempertahankan kekurangan yang diharapkan besar, atau sebaliknya?
  2. Apa sajakah distribusi bivariat yang akan menghasilkan bobot optimal yang sangat berbeda ketika meminimalkan varian vs. meminimalkan kekurangan yang diharapkan?
  3. Apa karakteristik distribusi seperti itu? (Contoh realistis dari keuangan akan dihargai.)

*$q\%$ kekurangan yang diharapkan (alias kerugian ekor yang diharapkan atau nilai bersyarat yang berisiko) hanyalah mean dari ekor kiri variabel acak, ekor yang dipotong di $q\%$ tingkat kuantil.

Topiknya mencakup keuangan dan statistik. Pertanyaan sebelumnya telah diposting di Cross Validated tetapi tidak mendapat jawaban. Saya sekarang memposting ulang di sini. Meskipun posting silang tidak disarankan, saya akan tetap memposting di Cross Validated jika pada akhirnya dapat menarik jawaban di sana.

Jawaban

1 gg Sep 07 2020 at 17:48

Perhitungan seperti itu dengan cepat menjadi berantakan bahkan dalam kasus bivariat dan paling baik ditangani dengan simulasi. Karena itu, pertanyaan dasar tentang perbedaan mendasar antara pengoptimalan menggunakan tindakan risiko Tail versus pengukuran risiko berbasis Varians dapat diilustrasikan dengan penghitungan langsung yang hanya menggunakan pengembalian portofolio total.

Sederhananya, perbedaan filosofis dan praktis adalah bahwa pengukuran risiko Tail hanya berfokus pada ekor sedangkan Variance menggabungkan informasi dari seluruh distribusi. Semua perbedaan lainnya mengikuti dari perbedaan dasar ini.

Dekomposisi Ekor / Non-Ekor

Saya pikir itu cukup untuk menganalisis kasus univariat. Membiarkan$S$ menunjukkan pengembalian portofolio total (mis $S = wX + (1-w)Y$ untuk dua aset $X$ dan $Y$ dengan berat $0\leq w \leq 1$).

Dengan probabilitas ekor $0<q < 1$ dan jumlah ekor $s_q$ (mis $\mathbb{P}[S<s_q] = q$) kita bisa membedakan antara ekornya $\{ S \leq s_q\}$ dan non-ekor $\{ S > s_q\}$ wilayah $S$ menggunakan Variabel Bernoulli $Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. Membiarkan$F_S$ menjadi distribusi $S$ dan $\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ menjadi distribusi bersyarat atas atau non-ekor dan $\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$menjadi distribusi bersyarat ekor yang lebih rendah. Distribusi tersebut adalah distribusi terpotong bawah masing-masing . Selanjutnya, kami membutuhkan$\hat{e}$ dan $\check{e}$ ekspektasi serta varians $\hat{v}^2$ dan $\check{v}^2$ dari $\hat{F}$ dan $\check{F}$.

Untuk kesederhanaan, asumsikan itu $S$memiliki kepadatan yang kontinu. Kemudian$-\check{e}$ adalah kekurangan yang diharapkan dari $S$. Menurut hukum penggunaan ekspektasi total$\mathbb{E}[S]=0$ seseorang melihat bahwa: $$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ atau $$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$

Dengan cara yang sama, hanya sekarang dengan menggunakan hukum varian total , kita dapat memisahkan Varians dari$S$: $$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$ Untuk istilah ketiga orang menggunakan fakta bahwa $Z$ adalah Bernoulli dengan $\mathbb{P}[Z=1]=q$ dan hubungannya $(\ref{1})$ antara dua kemungkinan nilai $\mathbb{E}[S\mid Z].$

Penafsiran

Berdasarkan $(\ref{2})$ varian dapat diuraikan menjadi dua varian "dalam" yaitu varian ekor dan non-ekor dan varian "di antara" yang timbul dari perbedaan rata-rata antara ekor dan non-ekor.

Jadi ya memang, kekurangan yang diharapkan yang besar akan mendorong varian. Dalam hal ini, pengoptimalan varian dan shortfall yang diharapkan akan memberikan arah yang sama. Tetapi variansnya menggabungkan istilah tambahan, yang sepenuhnya diabaikan oleh optimasi shortfall yang diharapkan. Dan bisa dibilang dan sering di praktekkan$\check{v}^2$ akan terkait erat dengan $\check{e}$ berdasarkan ekor dari distribusi aset yang tersedia, perilaku $\hat{v}^2$ seringkali cukup terpisah dan agak dominan, terutama jika $q$sangat kecil. Di bawah pengoptimalan Varians, sangat masuk akal untuk mengambil lebih banyak risiko ekor untuk menghilangkan volatilitas non-ekor.

Perilaku rabun ini juga menjadi alasan sementara optimasi shortfall (atau nilai berisiko) murni yang diharapkan akan jarang dalam praktiknya. Tidak ada hiburan untuk dikelola dengan baik pada level 1-dalam-100 tahun, jika Anda secara teratur mengalami kerugian.