Menampilkan $(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

Membiarkan $K = \mathbb{C}[[h]]$ menjadi aljabar deret pangkat formal dari bidang kompleks dan biarkan $K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Saya mencoba memahami isomorfisme berikut:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Terima kasih!

Answer 1

Pernyataan tersebut berlaku untuk setiap aljabar komutatif $B$ di atas cincin komutatif $A$ dan $A$-modul $M,N$. Ini mengikuti dari rantai ini$B$-modul isomorfisme: \begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}