Mencari nilai eigen dari matriks 3x3 dengan determinan dan trace

Dec 06 2020

Misalkan a $3×3$matriks A hanya memiliki dua nilai eigen yang berbeda. Seandainya$\operatorname{tr}(A)=−1$ dan $\det(A)=45$. Temukan nilai eigen dari$A$.

Saya telah memecahkan masalah serupa dengan matriks 2x2 dengan menggunakan properti jejak dan determinan (jejak = a + d dan det = ad-bc). Saya mencoba untuk mengambil pendekatan yang sama untuk matriks 3x3 tidak berhasil, karena mengekspresikan polinomial karakteristik jauh lebih kompleks. Apakah ada pendekatan lain yang bisa saya lakukan?

Jawaban

1 NirF Dec 06 2020 at 22:50

Misalkan nilai eigen Anda $x$ dan $y$. matriks Anda$A$ mirip dengan matriks diagonal $B$yang memiliki nilai eigen pada diagonalnya.
Sekarang, matriks serupa memiliki determinan yang sama dan jejak yang sama, sehingga kita bisa mendapatkan persamaan berikut:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Yang pertama adalah penjumlahan diagonal (kita tahu bahwa ada 2 nilai eigen unik, jadi salah satunya akan muncul 2 kali pada diagonal).
Yang kedua adalah hasil kali diagonal (penentu matriks diagonal).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

jika $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ dan $2x+y=-1$. Dan itulah jawaban kami :)

mathse Dec 06 2020 at 23:08

Ada yang memegang matriks $A$ bahwa $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Karena Anda memiliki satu nilai eigen dua kali (saya asumsikan $\lambda_1$) ini menghasilkan: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Edit: hasil yang dikoreksi: Anda dapat menyelesaikan ini dan mendapatkan:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$