Mencari nilai eigen dari matriks 3x3 dengan determinan dan trace
Misalkan a $3×3$matriks A hanya memiliki dua nilai eigen yang berbeda. Seandainya$\operatorname{tr}(A)=−1$ dan $\det(A)=45$. Temukan nilai eigen dari$A$.
Saya telah memecahkan masalah serupa dengan matriks 2x2 dengan menggunakan properti jejak dan determinan (jejak = a + d dan det = ad-bc). Saya mencoba untuk mengambil pendekatan yang sama untuk matriks 3x3 tidak berhasil, karena mengekspresikan polinomial karakteristik jauh lebih kompleks. Apakah ada pendekatan lain yang bisa saya lakukan?
Jawaban
Misalkan nilai eigen Anda $x$ dan $y$. matriks Anda$A$ mirip dengan matriks diagonal $B$yang memiliki nilai eigen pada diagonalnya.
Sekarang, matriks serupa memiliki determinan yang sama dan jejak yang sama, sehingga kita bisa mendapatkan persamaan berikut:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Yang pertama adalah penjumlahan diagonal (kita tahu bahwa ada 2 nilai eigen unik, jadi salah satunya akan muncul 2 kali pada diagonal).
Yang kedua adalah hasil kali diagonal (penentu matriks diagonal).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$
jika $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ dan $2x+y=-1$. Dan itulah jawaban kami :)
Ada yang memegang matriks $A$ bahwa $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Karena Anda memiliki satu nilai eigen dua kali (saya asumsikan $\lambda_1$) ini menghasilkan: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$
// Edit: hasil yang dikoreksi: Anda dapat menyelesaikan ini dan mendapatkan:
$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$