Menemukan akar polinomial $X^2 - X + 19$ di $\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Aug 18 2020

Untuk $p = 61$.

Saya diberi akar $X^2 + 3$ di $\mathbb Z/p \mathbb Z$, yang mana $\pm 27 + p\mathbb Z$.

Saya kemudian harus menemukan akarnya $X^2 - X + 19$ di $\mathbb Z/p\mathbb Z$, yang saya temukan tanpa menggunakan informasi sebelumnya.

Namun, saya seharusnya menggunakan informasi yang diberikan untuk menemukan akarnya $X^2 - X + 19$ di $\mathbb Z/p\mathbb Z$, yang mana, saya tidak tahu bagaimana harus bergerak maju.

Jawaban

1 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 11:49

Selesaikan persegi.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Bisakah kamu mengambilnya dari sini?