Menemukan automorfisme bidang setengah atas diberikan tiga poin berbeda
Seharusnya $(x_1,x_2,x_3)$ dan $(y_1,y_2,y_3)$ adalah dua pasang dari tiga titik berbeda pada sumbu nyata dengan $x_2<x_2<x_3$ dan $y_1<y_2<y_3$. Buktikan bahwa ada automorfisme (yang unik)$\phi$ dari $\mathbb{H}$ maka $\phi(x_j)=$
Saya sudah mengetahui bagian keunikannya, dan ingin membuktikan keberadaannya.
saya tahu itu $Aut(\mathbb{H})=\{\phi:\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d\in\mathbb(R), ad-bc>0\}$. Automorfisme bidang setengah atas menyarankan saya untuk "menskalakan dan mengkonjugasikan"$\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$tapi sepertinya saya tidak mengerti bagaimana ini berhasil. Saya mencoba$(y_2-y_1)\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(x_2-x_1)(z-x_3)}+y_1$ sehingga mengirimkan $x_1$ untuk $y_1$ dan $x_2$ untuk $y_2$ tetapi saya tidak tahu mengapa saya awalnya mengirim $x_3$ untuk $\infty$. Bisakah seseorang membantu saya dengan pertanyaan ini? Terima kasih.
Jawaban
Idenya adalah untuk menunjukkan itu
$T(z; x_1, x_2, x_3) = \dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$ adalah automorfisme dari $\Bbb H$ peta yang mana $x_1, x_2, x_3$ untuk $0, 1, \infty$, masing-masing, dan
automorfisme $\Bbb H$ membentuk kelompok.
Karena itu $$ T(z; y_1, y_2, y_3)^{-1} \circ T(z; x_1, x_2, x_3) $$ adalah automorfisme dari $\Bbb H$ dengan properti yang diinginkan.
Ucapan: $\dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$adalah, hingga beberapa permutasi argumen, yang disebut "rasio silang" atau "rasio ganda" dari$z, x_1, x_2, x_3$.