Menemukan invers Transformasi Laplace $\frac{s}{(s+1)^3}$ menggunakan rumus inversi
Saya perlu menemukan transformasi Laplace terbalik $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$menggunakan Bromwich Integral. Kontur Bromwich akan terlihat seperti ini .
Sebenarnya Anda bisa melihat masalah ini di tautan berikut: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Saya ingin tahu, mengapa kita harus menunjukkan integralnya$L_u$, $C_R$, $L_D$ adalah $0$? Maksud saya, saya telah melihat banyak contoh di beberapa buku (seperti Metode Matematika untuk Fisikawan, edisi ke-3.) Itu hanya perlu menunjukkan residu di kutub sederhana untuk menyelesaikan inversi transformasi laplace
Jadi, dalam hal ini seharusnya:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
Bisakah Anda menjelaskan mengapa kami harus menunjukkan integral bersama $L_u$, $C_R$, $L_D$ adalah $0$ (berdasarkan tautan yang diberikan) jika teori residu cukup untuk mengevaluasi integral untuk menemukan transformasi laplace terbalik $F(s)$?
Semoga Anda bisa menjelaskan kepada saya. Saya ingin mempelajari lebih lanjut tentang ini tetapi masih bingung ketika harus menjawab pertanyaan ini. Terimakasih banyak!
Jawaban
The Residu Teorema merupakan perpanjangan dari Teorema Integral Cauchy . Kedua teorema dimulai dengan kurva tertutup yang dapat diperbaiki dalam domain terhubung sederhana di$\mathbb{C}$.
Transformasi Laplace terbalik dari $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, diungkapkan oleh
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
dimana $c$ adalah bilangan real yang lebih besar dari semua singularitas $F(s)$.
Untuk menerapkan Teorema Residu, kami mengevaluasi integral dari $F(s)e^{st}$di atas kurva yang tertutup dan dapat diperbaiki. Jadi, kami memulai analisis kami dan menulis
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Mengingat pertanyaan spesifik OP, kami berasumsi di sini bahwa satu-satunya singularitas dari $F(s)$adalah singularitas kutub. Jika$F(s)$ memiliki singularitas titik cabang, maka kami akan menutup jalur Bromwich sedemikian rupa sehingga titik cabang dan potongan cabang terkait dikeluarkan dari dalam kontur tertutup.
Misalkan semua file $N$ jumlah kutub $F(s)$ berada di dalam kontur tertutup $C$ dan menunjukkan lokasi $n$tiang oleh $s_n$, dimana $n=1,2\cdots N$. Kemudian, kami memiliki dari Teorema Residu,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Selain itu, sebagai $R\to \infty$, integral pertama di sisi kanan $(2)$ pendekatan $2\pi i f(t)$ seperti yang diungkapkan dalam $(1)$. Jadi, jika integralnya selesai$L_u+C_R+L_d$ lenyap sebagai $R\to \infty$, lalu dari penyamaan $(2)$ dan $(3)$, kami menemukan itu
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
CATATAN: Ekspresi dalam$(4)$ didasarkan pada asumsi itu
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Jika $(5)$ gagal menahan, lalu $(4)$ gagal untuk menahan juga.