Menemukan maksimum $x+y+z$ [Tutup]

Question

Jika bilangan positif $x, y$ dan $z$ memuaskan itu $xyz=1$, untuk apa nilai minimalnya $x+y+z$?

Dari $xyz=1$, kita bisa mendapatkan $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

Gantikan mereka menjadi $x+y+z=1$ dan saya dapat$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

Karena kami sedang mencari minimum untuk $x+y+z$, Saya berpikir untuk menggunakan rumus $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ karena fakta bahwa kami memiliki nilai $xy+yz+xz$.

Itu saja yang saya miliki sejauh ini. Bagaimana saya bisa melanjutkan?

Answer 1

Gunakan ketidaksetaraan AM-GM,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

Minimumnya $3$ dan tidak ada yang maksimal.

Answer 2

Dengan geometri:

Permukaan persamaan $xyz=1$(tidak tahu namanya) adalah kubik dengan bentuk "seperti hiperbolik", karena setiap penampang melintang pada bidang satu koordinat konstan adalah hiperbola. Ini memiliki urutan simetri$3$ di sekitar sumbu $x=y=z$, dan terbuka menuju ketidakterbatasan.

Bagian oleh pesawat $x+y+z=c$ adalah kurva tertutup, mulai dari $c=3$ dan memperbesar secara monoton dan tanpa batas.

Minimumnya $c=3$ dan tidak ada yang maksimal.