Menemukan Produk Tensor [duplikat]

Jan 07 2021

Membiarkan $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

Aku s $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Saya percaya ini benar tetapi saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.

Mohon bantu saya dengan ide / petunjuk.

Terima kasih sebelumnya.

Jawaban

2 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 01:38

Itu salah. Ada peta alam

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

yang menyuntikkan tapi tidak surjective. Citranya terdiri dari subruang$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ terdiri dari urutan yang penyebutnya dibatasi, atau ekuivalen yang dapat diletakkan di bawah penyebut yang sama (pada dasarnya karena tensoring oleh $\mathbb{Q}$ hanya memungkinkan Anda untuk membagi seluruh barisan bilangan bulat dengan beberapa penyebut yang sama) dan tidak mengandung, misalnya, barisan $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(Di sisi lain, kelompok-kelompok ini secara abstrak isomorfik karena keduanya berada di atas ruang vektor $\mathbb{Q}$dari dimensi kontinum. Lihat jawaban math.SE ini yang pada dasarnya mengatakan hal yang sama.)

Secara umum produk tensor hanya dijamin untuk mengawetkan produk hingga. Anda dapat menunjukkan bahwa tensoring dengan modul mempertahankan produk tak terbatas jika disajikan dengan baik (yaitu$\mathbb{Q}$tidak); lihat jawaban math.SE ini .