Mengapa $8^{\frac{1}{3}}$adalah $1$, $\frac{2\pi}{3}$, dan $\frac{4\pi}{3}$

Question

Pertanyaannya adalah:

Gunakan teorema DeMoivre untuk menemukan$8^{\frac{1}{3}}$. Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk kompleks.

Pilih satu:

sebuah. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/ 3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/ 3)

d. 2 cis ($\pi$/3), 2 cis ($\pi$/ 3)

e. Tak satupun

---

Saya pikir itu$8^{\frac{1}{3}}$adalah$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

Dan,$r = 8$

Dan,$8\cos \theta = 8$dan$\theta = 0$.

Jadi,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

Saya baru saja mendapat$2$. Dimana dan bagaimana orang lain$\frac{2\pi}{3}$, dan$\frac{4\pi}{3}$berasal dari?

Answer 1

Kita bisa melihatnya seperti ini:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Sekarang untuk nilai yang berbeda dari$k$, kami memiliki jawaban yang berbeda: (di sini$n$adalah$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Anda bisa membaca di$n^{\text{th}}$akar persatuan di Wikipedia untuk mendapatkan gambaran yang lebih baik

Answer 2

Membiarkan$z^3=8$.

Dengan demikian,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$pemberian yang mana$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$atau$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

Answer 3

Di Sini,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

sehingga untuk$k=1$,$k=2$kita mendapatkan$\frac{2\pi}{3}$dan$\frac{4\pi}{3}$

Atau ambil:$$8^{1/3}=x$$Kemudian kita mendapatkan,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Kemudian kita mendapatkan akar yang kita inginkan.

Answer 4

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

di sini$\omega$adalah akar pangkat tiga dari kesatuan