Mengapa matriks Gell-Mann memiliki normalisasi ini?

Question

Ini mungkin pertanyaan yang bodoh, tetapi mengapa normalisasi matriks Gell-Mann (basis dari $\mathrm{su}(3)$ Lie aljabar) dipilih untuk menjadi $$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$ bukan hanya $\delta_{ij}$ tanpa faktor $2$? Di sebagian besar aljabar linier, vektor basis dinormalisasi menjadi$1$(atau tidak dinormalisasi sama sekali). Mengapa tidak dalam konteks Lie Algebras? Apakah ada cara untuk melihat ini yang membuat faktor tersebut$2$ tampak alami?

Pada catatan terkait, beberapa teks fisika mengubah normalisasi dengan mendefinisikan "generator $\mathrm{SU}(3)$ grup "sebagai $T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$. Tapi ini baru saja memenuhi$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$yang tampaknya tidak wajar bagi saya. (Dan perbedaan antara dua konvensi normalisasi ini hanya membuat saya menghabiskan satu jam untuk mengejar faktor yang hilang$4$dalam perhitungan yang panjang. Itulah mengapa saya menanyakan pertanyaan ini xD).

Answer 1

Sejarah. Matriks Gell-Mann merupakan perluasan / generalisasi dari matriks spin Pauli untuk su (2) , dan$\lambda_{1,2,3}$ mengidentifikasi dengan ini, jadi patuhi relasi jejak yang sama.

Anda juga memahami mengapa matriks Pauli dinormalisasi lebih lanjut dengan cara ini dengan tambahan 1/2, untuk kemudian mematuhi aljabar su (2) yang dinormalisasi secara kanonik dengan konstanta struktur ε , sehingga menghindari eksponensial sudut setengah.