Mengapa QED dapat dinormalisasi ulang?

Question

Pemahaman saya tentang renormalisasi adalah bahwa sebuah teori dapat dinormalisasi ulang jika divergensi dalam amplitudo dapat dihilangkan dengan banyak istilah. Saya melihatnya dengan menambahkan counterterm (dalam skema MS-bar)

$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$

divergensi satu putaran QED dapat dibuat terbatas. Namun, saya tidak mengerti bagaimana hal ini membuat QED dapat dinormalisasi? Tentunya saat kita bekerja dengan diagram dengan lebih banyak loop, kita akan mendapatkan lebih banyak counterterms - mengingat kita dapat memiliki diagram dengan banyak loop secara sewenang-wenang, bukankah kita memerlukan jumlah counterterms yang tak terbatas untuk membatalkan ini?

Answer 1

QED hanya memiliki sejumlah diagram divergen yang tidak dapat direduksi. Pengertian utama divergensi diagram adalah penghitungan daya: Istilah yang diwakili setiap diagram memiliki bentuk pecahan seperti$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ dan Anda dapat menghitung perbedaan antara kekuatan momentum di pembilang dan penyebut dan menyebutnya $D$. Diagram divergen seperti heuristik$\Lambda^D$ dalam skala momentum $\Lambda$ jika $D > 0$, Suka $\ln(\Lambda)$ jika $D=0$, dan terbatas jika $D < 0$. Ini bisa gagal - diagram bisa berbeda$D < 0$ - jika itu berisi subdiagram divergen yang lebih kecil.

Jika Anda mengetahui struktur umum dari $D$untuk diagram QED, Anda harus dapat meyakinkan diri sendiri bahwa QED hanya memiliki sejumlah diagram tak tereduksi satu partikel yang terbatas . Bahwa membatalkan diagram yang tidak dapat direduksi cukup untuk membatalkan secara berulang divergensi dalam semua diagram tingkat tinggi yang berisi mereka dalam kombinasi sewenang-wenang untuk semua pesanan adalah pernyataan non-sepele yang kadang-kadang disebut teorema BPHZ, yang arti teknisnya - meskipun bukan dengan nama ini - dijelaskan oleh artikel Scholarpedia tentang renormalisasi BPHZ .

Answer 2

Kami mendapatkan jumlah counterterms yang tak terbatas, tetapi itu semua akan menjadi bentuk yang sama (atau dalam himpunan tertutup), hanya saja koefisien di depan suku akan diperluas dalam deret pangkat dari konstanta kopling. Apa yang dimaksud dengan "jumlah yang tak terbatas dari kontra-term -> tidak dapat dinormalisasi", setidaknya dari pemahaman saya, adalah sesuatu seperti teori phi ^ 5. Kita perlu menambahkan jumlah counterterms yang tak terbatas, seperti phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., untuk membatalkan divergensi, dan ini berlangsung selamanya. Ini berbeda dengan QED yang kita hanya membutuhkan sejumlah counterterms yang terbatas, tetapi koefisien di depannya ditentukan urutan demi urutan.