Mengapa setiap $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ ditulis sebagai $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ untuk beberapa $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
Dalam kerangka teoritis untuk jaringan kuantum terbukti bahwa peta linier$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ adalah CP (sangat positif) jika operator Choi-nya $M$adalah semi pasti positif. Ada sesuatu yang membingungkan saya dalam derivasi ini.
Pertama, beberapa pengingat definisi.
Membiarkan $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, biarkan $\{|i \rangle \}_i$ menjadi dasar ortonormal $H_0$, kita punya:
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
Operator Choi didefinisikan sebagai:
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
Dalam buktinya, dia berasumsi $M \geq 0$ tujuannya adalah untuk menunjukkan apa yang tersirat $\mathcal{M}$ adalah CP.
$M$adalah semi pasti positif yang menyiratkan itu adalah pertapa dengan nilai eigen positif. Dengan demikian dapat didiagonalisasi. Dengan$\lambda_i \geq 0$, kita punya:
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
Dengan $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
Tapi dia sepertinya "secara otomatis" mempertimbangkan itu $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Saya tidak mengerti itu. Mengapa kita harus memiliki$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Ini adalah kasus yang sangat khusus. Mengapa negara dapat ditulis sebagai operasi lokal yang bertindak dalam keadaan terjerat secara maksimal?
Saya memiliki memori yang sangat samar sehingga setiap status kuantum dapat ditulis $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Dengan kata lain, selalu ada operasi linier$K$ (tidak harus kesatuan tentu saja) seperti vektor apapun dalam $H_1 \otimes H_0$ dapat ditulis sebagai $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$Saya kira itu akan menyelesaikan masalah. Tetapi saya tidak dapat menemukan sumbernya dan saya mungkin salah total.
Pada akhirnya, mengapa kita bisa menulis: $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Saya ingin buktinya (dan jika properti yang baru saja saya bicarakan tahan, saya ingin tautan ke referensi yang mengungkapkannya atau buktinya juga di jawabannya)
Jawaban
Membiarkan $K$ menjadi vektor $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ Kita bisa menulis ulang ias ini $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ dan ini sama saja dengan $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ jika kita mendefinisikan matriks $K$ menjadi $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
Anda telah mendefinisikan matriks Choi sebagai $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. Saya akan menulis keadaan terjerat maksimal sebagai$|\mathcal{\Omega}\rangle$ karena lebih mudah dibaca oleh saya dan saya lebih terbiasa.
Anda sudah menunjukkan itu $M$ menjadi positive-semidefinite berarti kita dapat melakukan dekomposisi spektral bernilai nyata:
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ Kita bisa menguraikannya $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$menjadi produk tensor dasar untuk kedua salinan ruang Hilbert: $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
yang artinya kita bisa menulis: \ begin {persamaan} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ bahasa b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ bahasa a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {split} \ end {persamaan}
Seperti yang mungkin Anda ketahui, kita bisa menulis 'keluaran' dari peta $\mathcal{M}$ pada 'input' $\rho_{\mathrm{in}}$, yang memang demikian $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, dalam hal matriks Choi $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ di mana jejaknya adalah jejak parsial atas subsistem kedua, dan $T$ superscript berarti transpos.
Sekarang, kita pasang dekomposisi di atas untuk $M$: \ begin {persamaan} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ besar [M \ kiri ( Saya \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ kiri (Saya \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ besar] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ besar [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ besar] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ bahasa a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}, \ end {split} \ end {persamaan} dengan$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. Ini hanya dekomposisi Kraus, yang cukup untuk$\mathcal{M}$ menjadi CP.
Membiarkan $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ menunjukkan keadaan terjerat maksimal (tidak dinormalisasi).
Relasi $\kett X=(X\otimes I)\ket m$berjumlah beberapa juggling indeks sederhana. Maksud saya, Anda sedang mempertimbangkan objek yang sama, yaitu kumpulan angka yang sama, tetapi menafsirkannya dengan cara yang berbeda (sebagai operator daripada sebagai vektor).
Untuk melihat ini, biarkan $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ jadilah operator Anda, yang elemen matriksnya (dalam beberapa pilihan basis) kita tulis sebagai $X_{ij}$. Perhatikan bahwa Anda bisa mengerti$X_{ij}$ sebagai operator ("mengirimkan indeks $j$ ke indeks $i$"), atau sebagai vektor dalam$H_0\otimes H_1$. Lebih formal, jika kita menulis dengan$\kett X$ "interpretasi vektor" dari $X$, kita punya $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ tempat kami dulu $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ dan dengan demikian $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ Ini juga sering ditulis sebagai $\kett X=\operatorname{vec}(X)$, dengan $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ operasi "vektorisasi".