Mengapa tidak ada bidang dengan satu elemen? [duplikat]

Question

Ini telah ditanyakan di sini tetapi ditandai sebagai terjawab dan saya merasa pertanyaan itu tidak pernah dijawab, atau setidaknya tidak jelas bagi saya.

Saya tidak mengerti mengapa himpunan hanya terdiri dari elemen $\{0\}$ bersama dengan biasanya $+$ dan $×$ tidak memenuhi kriteria, karena $0$ bertindak sebagai identitas aditif dan multiplikatif.

Artinya, membiarkan $G = \{0\}$, kemudian

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ dan

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Sejak $0·0 = 0$ )

Demikian pula, ini adalah pembalikan aditif dan perkaliannya sendiri. Apa masalah hanya pada tingkat lapangan, tanpa berharap itu memenuhi beberapa properti tambahan untuk teori kategori atau geometri aljabar / aritmatika?

Answer 1

Jadi, mari kita ulas: $(F,+,\cdot,0,1)$ adalah bidang jika

• $(F,+,0)$ adalah grup abelian
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ adalah grup abelian

Apa yang terjadi jika $0 = 1$ dan $F$apakah singleton mengandung elemen itu? Maka karakteristik yang terakhir tidak puas, karena$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$namun semua kelompok tidak kosong dengan asumsi. (Yaitu, aksioma kelompok menyiratkan adanya suatu unsur di dalamnya, unsur identitas, sehingga suatu kelompok selalu tidak kosong.)

Answer 2

Membiarkan $K := \{0\}$. Kemudian$K \setminus \{0\}$ tidak bisa menjadi kelompok perkalian, karena tidak ada elemen identitas yang terkandung di dalamnya.