mengenai batas: penjelasan eksplisit diperlukan

Aug 17 2020

Kita punya, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

Dan itu baik-baik saja, tetapi saya tidak begitu yakin $p\in \mathbb{R}$, pertanyaan saya adalah, apakah itu benar untuk $p\in \mathbb{R}$?

Saya sudah mencoba menghitung nilai batas ini di Symbolab Online Calculator, put $p =some$ $fraction$ $number$, tapi itu terlihat $0$sebagai jawaban. Tangkapan layar dari kasus ini terlampir bersama ini.

Dan

Dapatkah seseorang memberi saya pendekatan atau bahkan petunjuk untuk membuktikan atau menyangkal angka yang disebutkan di atas?

Terima kasih sebelumnya!

Jawaban

1 Bernard Aug 17 2020 at 21:46

Itu benar untuk semua orang $p> -1$. Ini sebenarnya adalah jumlah Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ untuk fungsinya $f(x)=x^p$, dengan batas $0$ dan $1$, oleh karena itu menyatu dengan $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

1 user Aug 17 2020 at 21:39

PETUNJUK

Mari gunakan Stoltz-Cesaro untuk mendapatkan

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$