mengenai batas: penjelasan eksplisit diperlukan
Kita punya, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$
Dan itu baik-baik saja, tetapi saya tidak begitu yakin $p\in \mathbb{R}$, pertanyaan saya adalah, apakah itu benar untuk $p\in \mathbb{R}$?
Saya sudah mencoba menghitung nilai batas ini di Symbolab Online Calculator, put $p =some$ $fraction$ $number$, tapi itu terlihat $0$sebagai jawaban. Tangkapan layar dari kasus ini terlampir bersama ini.


Dapatkah seseorang memberi saya pendekatan atau bahkan petunjuk untuk membuktikan atau menyangkal angka yang disebutkan di atas?
Terima kasih sebelumnya!
Jawaban
Itu benar untuk semua orang $p> -1$. Ini sebenarnya adalah jumlah Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ untuk fungsinya $f(x)=x^p$, dengan batas $0$ dan $1$, oleh karena itu menyatu dengan $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$
PETUNJUK
Mari gunakan Stoltz-Cesaro untuk mendapatkan
$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$