Saya pikir jawabannya adalah

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Bukti

Misalkan kita menulis nomor asli kita sebagai $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Maka persamaan yang dijelaskan dalam soal adalah $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Menata ulang memberi $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ yang artinya $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Sekarang perhatikan bahwa sisi kiri habis dibagi $19$ jadi sisi kanan harus juga tetapi sejak $a_0$ adalah coprime to $19$, ini artinya $10^n - 2$ habis dibagi $19$. Oleh karena itu, kami mencari kekuatan terkecil$10$ yang kongruen dengan $2$ modulo $19$.

Melalui kekuatan$10$ modulo $19$ memberi $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Oleh karena itu, kekuatan terkecil$10$ yang berhasil $10^{17}$. Memasukkan ini ke dalam persamaan kita memberi$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Jelas, kita tidak bisa memilih $a_0=1$ sebagai sisi kanan akan memiliki terlalu sedikit digit, tetapi jika kita memilih $a_0=2$ (untuk mencapai minimum) maka terlihat aman bahwa kita akan memiliki file $17$digit angka di sisi kanan dan kita dapat memilih sisanya $a_j$tepat di sebelah kiri.

Artinya yang terkecil$N$ yang harus berhasil $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Pemeriksaan komputer

Mengerjakannya dengan komputer sepertinya bermanfaat $N$ di atas adalah $105263157894736842$ dan menggandakan ini memberi $210526315789473684$ jadi ini memang berhasil.

Menggeser satu digit dari kanan ke kiri

Jawaban