Menghitung ekspansi seri dalam matriks: eksponensial matriks
Saya punya $(3 \times 3)$ matriks $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ yang saya ingin menghitung eksponensial matriks $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ Jika saya biarkan $z : = e^{i \theta}$, Saya sudah $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ dan $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ Pengaturan $|z| = 1$ dan menghitung eksponensial matriks di atas pangkat lima $Y^5$, Saya mendapatkan $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ Saya rasa saya harus bisa menulis ulang ini dengan bantuan $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ dan $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Misalnya, jika saya melihat file $a_{22}$ istilah di atas, saya melihat bahwa itu hampir $\cos(t)$, kecuali faktor numerik yang tidak berhasil. Juga$a_{11}$ istilah hampir $\cos(t)$, kecuali muncul istilah $\overline{z} (z+ z)$ dari kekuatan keempat dan seterusnya, dan hal yang sama terjadi untuk $a_{33}$ istilah dengan $z$ dan $\overline{z}$beralih. Itu$a_{32}$ istilah tampaknya $z \sin(t)$, tetapi koefisien numeriknya tidak bekerja.
Pertanyaan: Apakah ada yang mengenali pola dalam entri ini (yaitu deret) dan mampu menghitung eksponensial matriks$e^{tY}$ dalam bentuk tertutup?
Juga, apa yang akan menjadi eksponensial matriks $\exp(tZ)$ dari 'generalisasi' $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ dengan $z = e^{i \theta}$ lagi?
Jawaban
Pengaturan $z = e^{i \theta}$itu ide yang bagus. Ini menjadi sedikit lebih jelas jika$(- e^{-i \theta})$ diganti dengan $-1/z$ dari pada $-\overline z$ (dan itu membuat hasilnya benar bahkan untuk yang rumit $\theta$).
Jadi kita punya $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ dan kekuatan pertama adalah $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ Orang bisa melihat itu $\boxed{Y^3 = -2Y}$, yang memungkinkan untuk menghitung semua kekuatan $Y^n$ istilah dari $Y$ atau $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ untuk $k \ge 1$. Karena itu$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Kasus umum dijelaskan dalam Menghitung Matriks Eksponensial Metode Cayley-Hamilton : Jika$A$ adalah $n$-dimensi persegi matriks dan $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ nol dari persamaan karakteristik $\det(\lambda I - A) = 0$, kemudian $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ dimana $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ adalah solusi dari sistem persamaan linier $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
Dalam kasus kami $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ memiliki angka nol $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. Sistem persamaan linier adalah$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ Solusinya adalah $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ mengkonfirmasikan hasil untuk $\exp(tY)$ yang kami dapatkan di atas.