Menguatkan poligon tanpa segitiga

Dec 23 2020

Grafik Laman berikut mengukuhkan kotak tanpa segitiga. Dinyatakan dengan cara lain, ini adalah grafik kaku jarak satuan tanpa 3-siklus. Tampaknya ini adalah contoh terkecil dari poligon penahan bebas segitiga . Ini kebetulan menjadi subgraf dari grafik kubus batang satuan .

Poligon beraturan apa lagi yang memiliki konstruksi kaku bebas segitiga?

Jawaban

4 ParclyTaxel Dec 27 2020 at 00:45

Kerangka kaku apa pun, oleh karena itu, semua poligon biasa, dapat diubah menjadi padanan bebas segitiga. Cukup merangkai salinan file$12$-vertex segitiga bebas braced persegi ditunjukkan dalam pertanyaan (yang saya temukan) di sepanjang dua tepi collinear memberikan segmen garis kaku dengan panjang bilangan bulat acak tanpa segitiga:

Kemudian kisi segitiga apa pun dapat ditiru tanpa segitiga sebagai berikut (semua tepi fuchsia lurus dibuat dengan konstruksi rangkaian grafik di atas, semua tepi hitam adalah batang tunggal):

Misalnya, untuk mengikat segi enam tanpa segitiga:


Namun, penyangga segi enam di atas cukup besar. Pendekatan lain untuk bracing bebas segitiga adalah tepi virtual : dalam setiap embedding grafik kubik dengan satu tepi dilepas, jarak antara dua derajat-$2$ simpul (datang ke tepi yang hilang) harus selalu $1$. Hal ini mengarah ke segi enam reguler kaku bebas segitiga berikut in$16$ simpul dan $29$tepi ( bukti komit Shibuya ):

Dua versi yang ditunjukkan di atas adalah grafik-secara teoritis isomorfik; koordinatnya memiliki polinomial minimal yang sama. Secara khusus, menggunakan parametrisasi di Shibuya, file$x$-koordinat titik $7$ memuaskan $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Terima kasih Hulpke telah mengarahkan saya ke fungsi GAP DecomPolyyang memungkinkan saya mendapatkan polinomial pertama.) Garis samar di versi kedua menunjukkan bahwa grafik kaku terkait dengan urutan-$4$ grafik hypercube.

1 WRSomsky Jan 06 2021 at 02:53

Sebagai tambahan untuk jawaban Parcly Taxel, tanda kurung segi enam-nya adalah bagian dari keseluruhan kelompok tanda kurung heksagonal 2DOF. Berikut adalah dua anggota keluarga yang sangat simetris. (Garis putus-putus menunjukkan pemisahan unit yang tidak termasuk sebagai tepi.)