Menguatkan poligon tanpa segitiga
Grafik Laman berikut mengukuhkan kotak tanpa segitiga. Dinyatakan dengan cara lain, ini adalah grafik kaku jarak satuan tanpa 3-siklus. Tampaknya ini adalah contoh terkecil dari poligon penahan bebas segitiga . Ini kebetulan menjadi subgraf dari grafik kubus batang satuan .
Poligon beraturan apa lagi yang memiliki konstruksi kaku bebas segitiga?
Jawaban
Kerangka kaku apa pun, oleh karena itu, semua poligon biasa, dapat diubah menjadi padanan bebas segitiga. Cukup merangkai salinan file$12$-vertex segitiga bebas braced persegi ditunjukkan dalam pertanyaan (yang saya temukan) di sepanjang dua tepi collinear memberikan segmen garis kaku dengan panjang bilangan bulat acak tanpa segitiga:
Kemudian kisi segitiga apa pun dapat ditiru tanpa segitiga sebagai berikut (semua tepi fuchsia lurus dibuat dengan konstruksi rangkaian grafik di atas, semua tepi hitam adalah batang tunggal):
Misalnya, untuk mengikat segi enam tanpa segitiga:
Namun, penyangga segi enam di atas cukup besar. Pendekatan lain untuk bracing bebas segitiga adalah tepi virtual : dalam setiap embedding grafik kubik dengan satu tepi dilepas, jarak antara dua derajat-$2$ simpul (datang ke tepi yang hilang) harus selalu $1$. Hal ini mengarah ke segi enam reguler kaku bebas segitiga berikut in$16$ simpul dan $29$tepi ( bukti komit Shibuya ):
Dua versi yang ditunjukkan di atas adalah grafik-secara teoritis isomorfik; koordinatnya memiliki polinomial minimal yang sama. Secara khusus, menggunakan parametrisasi di Shibuya, file$x$-koordinat titik $7$ memuaskan $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Terima kasih Hulpke telah mengarahkan saya ke fungsi GAP DecomPoly
yang memungkinkan saya mendapatkan polinomial pertama.) Garis samar di versi kedua menunjukkan bahwa grafik kaku terkait dengan urutan-$4$ grafik hypercube.
Sebagai tambahan untuk jawaban Parcly Taxel, tanda kurung segi enam-nya adalah bagian dari keseluruhan kelompok tanda kurung heksagonal 2DOF. Berikut adalah dua anggota keluarga yang sangat simetris. (Garis putus-putus menunjukkan pemisahan unit yang tidak termasuk sebagai tepi.)