Menunjukkan bahwa $\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Membiarkan $E$ dan $F$ menjadi persimpangan sisi berlawanan dari segiempat cembung $ABCD$. Kedua diagonal bertemu$P$. Membiarkan$O$ menjadi kaki tegak lurus dari $P$ untuk $EF$. Menunjukkan bahwa$\angle BOC=\angle AOD$.

Berikut diagramnya:

Saya mendefinisikan $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

Sekarang, dengan lemma yang dikenal, kita punya $(Y,X;P,E)=-1$ dan dengan apollonius lemma, kita dapatkan $PO$ membagi dua $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Begitu pula kita tahu itu $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ membagi dua $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

Tapi persamaan sudut ini tidak membawa saya kemana-mana. Bisakah seseorang memberikan beberapa petunjuk? Terima kasih sebelumnya !

Answer 1

Izinkan saya mengutarakan ulang masalahnya secara singkat

Sebuah segitiga $\triangle ABC$ dan tiga cevians $AD, BE, CF$ yang setuju dengan $P$diberikan. Menetapkan$O:=EF\cap AD$ dan biarkan $H$ menjadi proyeksi ortogonal $O$ ke $BC$. Buktikan itu$\angle EHA=\angle KHF$.

Membiarkan $L:=AH\cap EF$ dan $K:=HP\cap EF$. Kami akan membuktikannya terlebih dahulu$\angle LHO=\angle OHK$, lalu itu $\angle EHO=\angle OHF$. Amati hasil berikut dari pengamatan ini.

Untuk bagian pertama, perhatikan bahwa - seperti yang terkenal - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ Sejak $(J,O; K, L)$ adalah harmonis dan $\angle OHJ=90^\circ$, seseorang menyimpulkan bahwa, pada kenyataannya, $\angle LHO=\angle OHK$. Bagian lain bisa dibuktikan serupa, karena kita sudah punya$(J,O;F,E)=-1$.