Menunjukkan bahwa $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ dapat ditulis sebagai $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
Saya telah membaca tautan berikut tentang definisi Jembatan Brownian, dan menemukan pernyataan berikut (poin 9 di tautan di atas):
Seharusnya $W_t$ adalah gerakan Brownian standar, definisikan $X_1=1$, lalu, untuk $h \in [0,1]$, proses $X_t$ adalah Jembatan Brownian:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
Saya benar-benar dapat memahami bukti dari pernyataan ini yang disajikan pada tautan di atas dan tidak memiliki masalah dengan klaim itu $X_t$di atas adalah Jembatan Brownian. Namun, penulis kemudian menyatakan bahwa:
"Dalam bentuk diferensial, di atas dapat ditulis sebagai:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
Saya sebenarnya tidak dapat menghubungkan bentuk diferensial dengan persamaan (1) yang diberikan $X_t$.
Saat saya menulis ulang bentuk diferensial dalam notasi "tangan panjang", saya mendapatkan ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Di atas jelas tidak sama dengan definisi sebelumnya $X_t$diberikan dalam persamaan (1). Saya berpikir mungkin ada beberapa aplikasi lemma Ito untuk fungsi yang didefinisikan dengan cerdas$F(X_t,t)$, yang belum dapat saya pahami (saya sudah mencoba bermain-main dengan varian $F(X_t,t):=X_te^t$, tetapi tidak berhasil).
Adakah cara untuk "memecahkan" persamaan diferensial (2) menjadi (1), atau apakah penulis salah ketik?
Sunting : setelah membaca jawaban yang ditautkan dalam komentar di bawah, dan dalam semangat jawaban saya sendiri tentang notasi untuk pertanyaan lain di sini , saya telah mencoba menulis ulang jawaban terkait menggunakan notasi tangan panjang (karena saya kesulitan menafsirkan beberapa langkah dari jawaban notasi singkat):
Saya masih mendapatkan jawaban yang salah. Bisakah Anda membantu saya menemukan kesalahan saya? .
"Trik" di aswer tertaut tampaknya menerapkan lemma Ito ke suatu fungsi $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. Derivatifnya adalah:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
Kami juga memiliki itu:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ maka:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Mengalikan dengan $1-t$ lalu berikan:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Oleh karena itu kami memiliki:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Berfokus pada istilah $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, kita bisa menulis:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Perhatikan bahwa istilah dalam braket di atas, yaitu $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$sebenarnya tidak sama dengan$X_h$ (seperti yang didefinisikan dalam persamaan (1)), jadi sebenarnya kami tidak memiliki:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Jawaban
Membiarkan $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Selanjutnya lihat
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
dan membedakannya menggunakan lemma It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
dan memang ada kesalahan ketik.
Jika Anda ingin menyelesaikan
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
kemudian (seperti dalam ODE) gunakan faktor pengintegrasian
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
untuk mengatasi SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
untuk solusi
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Catatan hati-hati: Anda tidak harus menerapkan lemma It ^ o untuk memecahkan SDE. Ini hanya bekerja jika ia menerima solusi yang kuat (lih. Oksendal, Bab 5).