Menunjukkan bahwa ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Pertanyaan: Misalkan$x $adalah bilangan bulat non negatif. Menetapkan${{m}\choose {x}}=0$ jika $x>m $. Membiarkan$\{p_n\}$ menjadi urutan yang memuaskan $0 <p_n <1$ dan $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Menunjukkan bahwa$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Apakah ini setara dengan bukti rumus Distribusi Poisson? Saya menanyakan ini karena dalam pernyataan rumus Distribusi Poisson$np$ konstan tetapi di sini kapan $n\to\infty $ $np\to $beberapa konstan$=\lambda $. Juga dalam Formula Distribusi Poisson$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ tapi kita harus membuktikannya $n $tidak ada batasan. Jadi apakah bukti untuk soal dan bukti rumus distribusi Poisson sama?

Catatan: Tidak ada batasan dalam rumus dalam soal. Kami harus membuktikannya$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ tidak $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Sejak $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, kita mendapatkan $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ dan coba tunjukkan itu $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

Batas yang Anda tulis adalah pernyataan formal dari teorema batas Poisson .

Versi yang Anda lihat sebelumnya memiliki asumsi yang sedikit kurang umum (itu memaksa $np_n = \lambda$ untuk semua $n$, daripada $np_n \to \lambda$). Buktinya akan sangat mirip, tetapi Anda mungkin harus melakukan sesuatu yang ekstra untuk klaim yang lebih umum.

Dalam kedua pernyataan tersebut, ada batasan sebagai $n \to \infty$; Saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan "kami harus membuktikannya$n$ tidak ada batasan. "

Answer 3

Untuk diperbaiki $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Sebagai $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ begitu$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$