Menunjukkan bahwa subring $K$ dari $\mathbb H$ berisi bidang yang isomorfik ke $\mathbb C$

Aug 19 2020

Membiarkan $K$ menjadi subring dari $\mathbb H$, ring of the quaternions, dengan $\mathbb R \subseteq K$ dan $\mathbb R \neq K$, disana $\mathbb R$adalah cincin bilangan real.
Tunjukkan bahwa ada$x \in K$ seperti yang $ x^2 = -1$. Gunakan fakta ini untuk menyimpulkan itu$K$ berisi bidang yang isomorfik ke $\mathbb C$, cincin bilangan kompleks.

Alasan saya:

Sejak $\mathbb R \subseteq K$ tapi $\mathbb R \neq K$, harus ada beberapa $u \in \{i, j, k\}$, seperti yang $u \in K$, dimana $i, j, k$ adalah unit quaternion dan, khususnya, memuaskan

$i^2=j^2=k^2=-1$

Ini terjadi pada saya karena, agar $K$ menjadi berbeda dari $\mathbb R$, itu harus berisi setidaknya satu dari unit ini. Jika$K$ sebenarnya berisi $u$, kemudian $u$ adalah solusi dari

$x^2=-1$

Pada titik ini saya menunjukkan, jika semuanya benar, itu $K$ berisi seperti itu $x$, tapi saya tidak tahu bagaimana menunjukkan bagian terakhir pertanyaan.

Saya bertanya-tanya apakah saya bisa mempertimbangkan

$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$

Kami punya itu $\mathbb R[u] \subseteq K$, sejak $\mathbb R \subseteq K$ dan $u \in K$ dan $K$ adalah sebuah cincin.

Untuk menunjukkan itu $\mathbb R[u]$ adalah bidang dan isomorfik $\mathbb C$, akan "mudah" menggunakan polinomial dan quotients, sebenarnya kita punya

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Dimana $\mathbb R[x]$ adalah cincin polinomial berakhir $\mathbb R$ dan $(x^2+1)$ adalah cita-cita utama yang dihasilkan oleh polinomial $x^2+1$, yang tidak memiliki akar $\mathbb R$, membuatnya maksimal. Isomorfisme ini berlaku karena$x^2+1$ adalah polinomial minimal dari $u$ lebih $\mathbb R$.

Tapi kami juga tahu itu

$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Dimana kita bisa melihat $\mathbb C$ sebagai $\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.

Kami menyimpulkan itu

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$

Sekarang, metode ini mungkin atau mungkin tidak benar, tetapi pertanyaan sebenarnya saya adalah menemukan cara untuk melakukannya tanpa menggunakan quotients, cita-cita maksimal dan properti polinomial "lanjutan" di atas suatu bidang, karena latihan ini diberikan, dalam kursus saya, sebelumnya mereka semua.

Jawaban

1 RobertLewis Aug 19 2020 at 06:08

Seperti diketahui, $\Bbb H$ memiliki basis yang terdiri dari

$1 \in \Bbb R \tag 1$

dan $i$, $j$, $k$ seperti yang

$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$

$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$

tentu saja, (2) dan (3) bersama-sama menyiratkan itu $i$, $j$, $k$anti-perjalanan, yaitu:

$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$

dengan argumen serupa yang menunjukkan itu

$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$

menggunakan (2) - (4) kami menghitung $(ai + bj + ck)^2$, dimana $a, b, c \in \Bbb R$:

$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$

disediakan setidaknya satu dari $a$, $b$, $c$tidak lenyap. Ini hasil

$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$

Sekarang jika $K$ adalah subring dari $\Bbb H$ dengan

$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$

kemudian $K$ harus mengandung sebuah elemen $q \in\Bbb H$ dari bentuk

$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$

dengan

$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$

dan setidaknya satu dari $a$, $b$, $c$ bukan nol, kondisi yang mudah dilihat setara dengan

$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$

sejak $K$ adalah subring dan (8) menyiratkan

$r \in K, \tag{12}$

(9) hasil

$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$

dan dari apa yang telah kita lihat di atas

$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$

sekarang dalam terang (8) dan (10),

$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$

dan dengan demikian

$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$

dengan

$u^2 = -1, \tag{17}$

seperti yang ditunjukkan di atas dalam (14); demikianlah bidangnya

$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$

dan menggunakan (17) mudah untuk melihat bahwa elemen $\Bbb R(u)$ semuanya dalam bentuk $a + bu$, $a, b \in \Bbb R$, dan dengan demikian pemetaannya

$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$

mendefinisikan twixt isomorfisme $\Bbb R(u)$ dan $\Bbb C$; kami menyerahkannya kepada pembaca yang cukup terlibat untuk memberikan detail sederhana.

Nota Bene, Rabu, 20 Agustus 2020 11:24 PM PST: Kami amati demonstrasi di atas menunjukkan bahwa ada banyak subalgebras dari$\Bbb H$ mengandung $\Bbb R$ dan isomorfik menjadi $\Bbb C.$

.

2 egreg Aug 18 2020 at 23:21

Titik awal Anda salah. Apa yang Anda ketahui adalah bahwa ada angka empat$a+bi+cj+dk$ sedemikian rupa sehingga setidaknya satu di antara $b,c,d$ bukan nol.

Tidak ada alasan mengapa angka empat dasar perlu masuk $K$.

Contoh sederhananya adalah $\mathbb{R}[q]$, dimana $q=(i+j+k)/\sqrt{3}$, yang sebenarnya merupakan bidang isomorfik ke $\mathbb{C}$ dan tidak mengandung $i,j,k$.


Membiarkan $u\in K$, $u\notin\mathbb{R}$. Kemudian quaternions$1,u,u^2,u^3,u^4$ tidak independen linier, karena $\mathbb{H}$ memiliki dimensi empat lebih $\mathbb{R}$. Oleh karena itu terdapat polinomial dengan koefisien nyata yang menghilang pada$u$. Di sisi lain, polinomial dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor yang tidak dapat direduksi yang memiliki derajat satu atau dua dan, karena angka empat adalah aljabar pembagian, salah satu faktor harus menghilang pada$u$. Faktor seperti itu harus memiliki derajat dua, jika tidak$u$ akan menjadi nyata.

Tanpa kehilangan keumuman, polinomial adalah monik. Jadi ada$a,b\in\mathbb{R}$ seperti yang $u^2+au+b=0$. Sekarang kita dapat menyelesaikan alun-alun$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$ Catat itu $b-a^2/4>0$, karena $x^2+ax+b$adalah dengan asumsi polinomial yang tidak dapat direduksi. Set$c=\sqrt{b-a^2/4}$ dan $v=(u-a/2)/c$; itu mengikuti dari asumsi itu$v\in K$. Kemudian$c^2v^2+c^2=0$, karenanya $v^2=-1$.

Sekarang tunjukkan itu $\mathbb{R}[v]$adalah sebuah lapangan. Karena aljabar sudah berakhir$\mathbb{R}$, itu harus isomorfik $\mathbb{C}$.