Mewakili fungsi sebagai perbedaan dari dua fungsi cembung

Dec 08 2020

Saya tahu itu jika $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ aku s $C^2$itu dapat ditulis ulang sebagai perbedaan dari dua fungsi cembung. Saya bertanya kepada Anda apakah ada seseorang yang tahu apakah mungkin memperluas properti ini ke fungsi yang dimilikinya$\mathbb{R}^n$ sebagai domain.

Jawaban

1 Rino Dec 13 2020 at 23:43

Itu mungkin, misalnya:

Jika $f \in C^2(D,\mathbb{R})$ dan $D$ subset yang tidak kosong, cembung, dan padat dari $\mathbb{R}^n$, kemudian $f$ adalah fungsi dc, yaitu perbedaan dua fungsi cembung.

Pembuktiannya tidak bisa dilakukan dengan cara yang sama seperti di $\mathbb{R}$. Perhatikan bahwa dalam pernyataan ini Anda memerlukan subset yang ringkas .

Ini referensinya (jawaban Sanjo): https://math.stackexchange.com/a/843020/797553

Untuk bukti penggunaan $g(x)=f(x) + \rho/2 \cdot x^Tx$ dan $h(x)=\rho/2 \cdot x^Tx$, dimana $\rho=\left| ~min ~\{\lambda_{min}(Hessf(x)): x\in D\} ~\right|$. Kemudian$f=g-h$. Catat itu$\rho$ hanya ada sebagai $D$ kompak.

EDIT: Untuk $D=\mathbb{R}^n$pernyataan itu masih benar. (lihat [Konno H., Thach PT, Tuy H. (1997) Fungsi DC dan Set DC. Dalam: Optimasi pada Struktur Nonconvex Rank Rendah. Optimasi Nonconvex dan Aplikasinya, vol 15. Springer, Boston, MA]). Dalam buku ini Anda juga akan menemukan bukti pernyataan di atas.