Monoid otomatis pasangan kernel dari homomorfisma monoid antara sifat alami perkalian dengan sifat alami aditif (penjumlahan bilangan prima).

Question

Membiarkan $M = \Bbb{N}^{\times}$ dan $N = (\Bbb{N}\setminus \{1\} \cup \{0\})^+$ menjadi perkalian, dan masing-masing, aditif naturals dan let $\varphi : M \to N$ didefinisikan dengan mengambil $1$ untuk $0$ dan $\prod_{i} p_i$ untuk $\sum_i p_i$ untuk produk bilangan prima apa pun $p_i$. Kemudian kita dengan jelas melihat homomorfisme monoid yang terdefinisi dengan baik.

Perhatikan pasangan kerenel $\ker \varphi = \{ (x,y) \in M \times M : \varphi(x) = \varphi(y)\}$. Ini mendefinisikan hubungan kesesuaian pada$M$ dan agar kita dapat mengambil hasil bagi:

$$ M' = M/\ker \varphi $$

Catatan pertama bahwa hal-hal yang terjadi seperti $\varphi(39) = \varphi(55)$ sejak $3 + 13 = 16 = 5 + 11$ yang seperti itu $\ker \varphi$ memang tidak sepele.

The artikel wikipedia negara:

Ternyata begitu $\ker f$ adalah hubungan kesetaraan pada $M$, dan sebenarnya hubungan kesesuaian. Jadi, masuk akal untuk berbicara tentang hasil bagi monoid$M/(\ker f)$. Teorema isomorfisme pertama untuk monoid menyatakan bahwa hasil bagi monoid ini secara alami isomorfik terhadap citra$f$ (yang merupakan submonoid dari $N$), (untuk hubungan kesesuaian).

Jadi $M' \simeq N$, sejak $\varphi$bersifat dugaan. Bagaimana kita bisa dengan mudah menunjukkannya$\varphi$adalah dugaan? Sepertinya mungkin kita bisa menggunakan$(p) + (q) = \Bbb{Z}$ untuk dua cita-cita utama $p,q$ tapi kita tidak bisa karena bilangan bulat negatif akan terlibat.

Answer 1

Jika $n$ genap, $n = \varphi(2^{n/2})$ dan jika $n$ aneh, $n = \varphi(2^{(n-3)/2}\times 3)$.