Multiplisitas Konjugat Kompleks dari Nilai Eigen Kompleks Berulang

Question

Saya tahu bahwa untuk matriks bernilai riil, nilai eigen kompleks datang dalam pasangan konjugasi kompleks. Namun, saya bertanya-tanya apa yang terjadi untuk nilai eigen kompleks berulang (yaitu nilai eigen kompleks dengan kelipatan lebih besar dari 1). Dalam kasus tersebut, apakah konjugasi kompleks dari nilai eigen kompleks yang berulang memiliki multiplisitas yang sama dengan nilai eigen tersebut? Jika pernyataan itu berlaku, bagaimana kita bisa menunjukkan bahwa itu benar?

Answer 1

Kami memang menemukan bahwa jika matriks nyata $A$ memiliki nilai eigen yang kompleks $\lambda$, lalu nilai eigen konjugasi $\bar \lambda$memiliki multiplisitas aljabar dan geometris yang sama. Faktanya, kami dapat mengatakan lebih banyak lagi:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$yang berarti bahwa semua struktur yang terkait dengan nilai eigen adalah sama. Artinya, bentuk Jordan dari$A$ memiliki jumlah dan ukuran balok yang sama untuk $\lambda$ dan $\bar \lambda$.

Sejauh pembuktian multiplisitas, kita memiliki yang berikut ini: multiplisitas aljabar adalah multiplisitas dari root $\lambda$ dalam polinomial karakteristik $p(x) = \det(xI - A)$. Seperti halnya polinomial apa pun dengan koefisien nyata, multiplisitas akar$\lambda$ apakah ini sama dengan multiplisitas akarnya $\bar \lambda$.

Untuk multiplisitas geometris, salah satu pendekatannya adalah sebagai berikut: kita perhatikan bahwa matriks memenuhi $\overline{A B} = \bar A \bar B$. Maka jika$v$ adalah vektor eigen (kompleks) yang terkait dengan nilai eigen $\lambda$, maka kita punya $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ Dengan kata lain, peta $v \mapsto \bar v$ adalah sebuah pembalik $\Bbb R$peta -linear antara eigenpaces dari $A$ berkaitan dengan $\lambda$ dan $\bar \lambda$. Oleh karena itu, ruang-ruang ini memiliki dimensi yang sama.