$N(\frac{1}{2},2)=3$ untuk vektor di Ruang Hilbert

Question

Menemukan pertanyaan ini tentang jumlah maksimum vektor hampir ortogonal yang dapat ditanamkan seseorang dalam ruang Hilbert. Mereka menyatakan itu$N(\frac{1}{2},2)=3$, dan konstruksi vektor eksplisit yang menggunakan bola Bloch menunjukkan hal ini. Namun, saya tidak bisa memahami apa yang mereka maksud dengan ini. Contoh lebih lanjut mereka$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$masuk akal bagi saya, karena ini hanyalah vektor eigen dari operator pauli. Tetapi bagaimana seseorang menunjukkan bahwa jumlah vektor yang memenuhi kriteria berikut hanya 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Berikut adalah cara yang sangat visual untuk memikirkan hal ini (saya tidak mengklaim bahwa ini adalah bukti yang kuat). Membiarkan$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Masing-masing memiliki tumpang tindih 1/2. Sekarang gambarlah ini pada bola Bloch. Mereka adalah tiga vektor dengan jarak yang sama di sekitar lingkaran besar. Anda tidak dapat mendorong satu sama lain lebih dekat karena itu akan meningkatkan tumpang tindihnya.

Sekarang, dapatkah saya menambahkan vektor keempat? Vektor apa pun yang saya tambahkan ke dalam bola, itu harus membuat sudutnya$\pi/2$ atau kurang dengan salah satu vektor yang ada, dan karenanya akan tumpang tindih $1/\sqrt{2}$atau lebih besar. Jadi, setidaknya untuk pilihan tiga vektor ini, saya tidak dapat menambahkan vektor keempat dan mempertahankan nilai$\epsilon$.

Dengan mengingat gambaran ini, Anda mungkin juga dapat meyakinkan diri sendiri bahwa vektor-vektor ini harus dipilih dengan cara ini.$|V_1\rangle$sewenang-wenang, saya bisa mengarahkan tampilan agar berada di atas bola. Untuk$|V_2\rangle$ Saya memiliki kebebasan rotasi yang sewenang-wenang tentang $V_1\rangle$sumbu, jadi saya hanya memilih komponen ortogonal menjadi nyata dan positif. Pada saat itu, pilihanku$|V_3\rangle$ telah diperbaiki - hanya ada satu kemungkinan pilihan yang bisa memiliki tumpang tindih yang benar.

Jika versi visual tidak melakukannya untuk Anda, saya yakin seseorang akan memformalkan ini secara matematis ...