Negasi dari "jika A lalu B" (cara membuktikan bahwa "jika A lalu B" salah)
Saya tahu bahwa topik ini telah dibahas sebelumnya, tetapi saya masih tidak dapat menemukan jawaban untuk pertanyaan khusus saya.
Saya tahu bahwa negasi dari "Jika A maka B" adalah "A dan BUKAN B".
Tetapi saya ingin beberapa klarifikasi dan apa yang menentukan benar / salah untuk pernyataan A dan BUKAN B.
Misalnya, anggap pernyataan "jika A maka B" adalah benar. Kemudian menurut pemahaman saya, berarti "A dan NOT B" harus selalu salah.
Namun, anggaplah pernyataan "jika A maka B" salah. Lalu apakah pernyataan "A and NOT B" akan selalu benar? Atau apakah setidaknya ada satu kasus di mana "A dan NOT B" benar?
Hanya untuk memperjelas pertanyaan saya, jika saya ingin membuktikan bahwa "jika A lalu B" memang salah, apakah saya perlu menunjukkan bahwa "A dan NOT B" selalu benar, atau apakah cukup untuk menunjukkan hanya satu kasus di mana itu benar?
Terima kasih!
Jawaban
Misalnya, anggap pernyataan "jika A maka B" adalah benar. Kemudian menurut pemahaman saya, berarti "A dan NOT B" harus selalu salah.
Menjadi benar berbeda dengan menjadi tautologi, jadi tidak berarti bahwa "A dan NOT B" harus selalu salah. Sebaliknya anggaplah "jika A maka B" adalah tautologi, ini berarti negasinya harus selalu salah yaitu kontradiksi.
Idt: Benar jika yang Anda maksud "A dan NOT B" selalu salah dalam kasus bahwa "jika A maka B" adalah benar.
Namun, anggaplah pernyataan "jika A maka B" salah. Lalu apakah pernyataan "A and NOT B" akan selalu benar? Atau apakah setidaknya ada satu kasus di mana "A dan NOT B" benar?
Jika kita tahu bahwa "jika A lalu B" salah dalam beberapa kasus tetap, maka "A dan BUKAN" harus benar dalam kasus ini, dan jika kasus ini mencakup semua kemungkinan kasus, maka ya itu
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Namun, ketika kita mengatakan "jika A maka B" salah, biasanya itu berarti ini salah dalam beberapa kasus tertentu, misalnya kasus C. there is at least one case where "A and NOT B" is truePenahanan itu. Secara spesifik, karena itu benar dalam kasus C.
Hanya untuk memperjelas pertanyaan saya, jika saya ingin membuktikan bahwa "jika A lalu B" memang salah, apakah saya perlu menunjukkan bahwa "A dan NOT B" selalu benar, atau apakah cukup untuk menunjukkan hanya satu kasus di mana itu benar?
Jika kita ingin membuktikan bahwa "jika A maka B" memang salah dalam beberapa kasus C, maka cukup untuk menunjukkan bahwa dalam kasus C "A dan BUKAN" adalah benar.
Untuk alasan yang sama, jika kita ingin membuktikan bahwa "jika A maka B" selalu salah, maka kita perlu menunjukkan bahwa "A dan BUKAN" selalu benar.
Mari kita lihat tabel kebenaran $A \rightarrow B$, kita punya $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
Satu-satunya kasus untuk didapatkan $False$ nilai adalah kapan $A$ adalah $True$ dan $B$ adalah $False$. Jadi untuk mendapatkan hasil ini Anda hanya perlu menunjukkannya$B$ adalah $False$. Semoga membantu
Ini tabel kebenaran untuk $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Seperti yang Anda lihat, itu selalu benar.
Implikasi logis sering didefinisikan sebagai:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Kesetaraan ini juga dapat dibuktikan secara formal dari prinsip pertama menggunakan bentuk deduksi alami:
