Nilai eigen dari matriks yang hampir diagonal [duplikat]

Question

Saya tahu bahwa nilai eigen dari matriks diagonal hanyalah nilai-nilai di diagonal. Namun, jika saya memiliki matriks dengan bentuk berikut:

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$Apakah ada cara bentuk tertutup untuk mengekspresikan nilai eigen matriks ini? Saya bisa mendapatkan nilai eigen dari blok yang lebih kecil di sepanjang diagonal, tetapi bagaimana hubungannya dengan matriks keseluruhan?

Answer 1

Nilai eigen dari matriks diagonal blok adalah nilai eigen dari setiap blok. Vektor eigen yang sesuai adalah vektor eigen dari setiap blok yang dilapisi dengan nol. Sebagai contoh:

Nilai eigen dari matriks $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ adalah $7$ dan $1$, dan vektor eigen yang sesuai masing-masing $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

Nilai eigen dari matriks $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ adalah $2+\sqrt{2}$, $2$, dan $2-\sqrt{2}$ dan vektor eigen yang sesuai masing-masing $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Nilai eigen dari matriks $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ adalah $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, dan $2-\sqrt{2}$, dan vektor eigen yang sesuai masing-masing $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Jika Anda memiliki matriks blok $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ polinomial karakteristiknya adalah $p_A(x)p_B(x)$.