Optimasi Global ketika fungsi eksponensial terlibat

Question

Saya ingin tahu apakah ada metode untuk menentukan optimal global masalah MINLP, ketika fungsi nonlinier yang terlibat hanya dalam bentuk $Z = Y e^{- \alpha X}$, dimana $Y \ge 0$ dan $X \ge 0$.

Apakah ada makalah yang menjelaskan pendekatan seperti itu? Apakah fungsi ini memiliki karakteristik yang dapat dieksploitasi?

Dengan menggunakan logaritma, saya dapat menulis ulang fungsi sebagai $\log(Z) = \log(Y) - \alpha X$, tapi saya tidak berpikir saya memenangkan apapun.

Answer 1

Ini adalah masalah pengoptimalan global non-konveks. Cara mutakhir untuk mengatasinya adalah dengan menggunakan relaksasi yang dapat dipengaruhi faktor.

Wawasan utama di sini adalah itu $e^{-\alpha X}$ adalah cembung (karena file $\alpha$ positif).

Metodologinya adalah sebagai berikut:

• Perkenalkan variabel bantu baru $w=e^{-\alpha X}$
• Anda sekarang punya $Z=Yw$, dan $w=e^{-\alpha X}$
• Karena kedua batasan bukan konveks, Anda memisahkan masing-masing menjadi dua pertidaksamaan:

$Z\leq Yw, -Z\leq -Yw$

$ w\leq e^{-\alpha X}, -w\leq -e^{-\alpha X}$

Set pertama ketidaksetaraan dapat dibuat cembung menggunakan relaksasi McCormick .

Rangkaian pertidaksamaan kedua adalah cembung dan cekung. Pertidaksamaan cembung dapat dilonggarkan menggunakan pendekatan luar, dan pertidaksamaan cekung menggunakan garis potong.

Anda kemudian memasukkan masalah santai Anda ke dalam algoritma cabang-dan-terikat dan itu akan bertemu secara kuadrat.

Perhatikan bahwa metodologi ini tidak bergantung pada tanda $Z,Y,X$.

Atau, Anda dapat menghubungkan ini ke pemecah global yang akan melakukan semua ini untuk Anda secara otomatis. Couenne adalah pilihan open-source, dan jika Anda seorang akademisi / pelajar, Anda juga dapat menggunakan SCIP atau Octeract Engine kami sendiri secara gratis.

Answer 2

Dengan asumsi relaksasi kontinu adalah cembung, kemungkinan besar Anda dapat menggunakan pengoptimalan berbentuk kerucut dengan kerucut eksponensial. The Mosek modeling masak memiliki rincian.

Tidak mengherankan, Mosek dapat menyelesaikan versi integer campuran dari masalah tersebut.

Answer 3

Anda dapat menemukan sebagian jawaban atas pertanyaan Anda di artikel berikut (akan terbit di OR) oleh JP Vielma dan J Huchette https://arxiv.org/abs/1708.00050

Dalam makalah tersebut, penulis mempertimbangkan masalah pendekatan fungsi non-linier dari satu atau dua variabel dalam tujuan melalui disjungsi beberapa hyperplanes. Anda kemudian dapat meneruskan MIP yang dihasilkan ke pemecah bilangan bulat campuran tujuan umum.

Artikel itu berisi kutipan ke sumber lain yang mungkin juga bisa membantu.