Order -Statistics [duplikat]

Question

Variabel acak $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ apakah iid $\mathcal{U}(0, a)$. Tentukan distribusi$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Haruskah saya menemukan distribusi bersama $\max$ dan $\min$ dan kemudian temukan distribusi $Z_n$, karena kita memiliki dua variabel acak yang berbeda, saya tidak tahu bagaimana melakukannya!

Answer 1

Pertama amati bahwa vektor acak $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ didukung pada $(0,a)^2$. Seharusnya$f$adalah kepadatan sambungannya. Sejak$X_{(n)}$ dan $Y_{(n)}$ independen, kami punya $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ untuk apapun $(x,y)\in (0,a)^2$. Perhatikan juga caranya$Z_n$ didukung pada $[0,\infty)$, yang artinya untuk apa saja $z\geq 0$ kita punya $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Dengan sedikit aljabar yang kita miliki $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Probabilitas ini dapat ditulis sebagai integral ganda $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ yang menunjukkan $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.