Osilator harmonik kuantum, energi titik nol, dan bilangan kuantum n
Energi osilator harmonik kuantum diberikan sebagai,
\begin{equation} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{persamaan}
Saya memahami implikasi dari prinsip ketidakpastian Heisenberg yang tidak mengizinkan atom untuk berhenti bahkan pada$0$K. Ketidakpastian ini adalah alasan untuk beberapa energi yang dimiliki oleh atom di$0$K - energi titik nol (ZPE). Sebagian besar teks memperkenalkan ZPE dengan mencatat bagaimana dengan$n = 0$masih ada sisa energi sebesar$\frac{1}{2}\hbar\omega$.
Adalah$n$hanya nomor? Jika demikian, bagaimana?$n = 0$ada hubungannya dengan suhu?
Jawaban
Energi titik nol tidak penting di sini, karena Anda selalu dapat memilih energi referensi dengan bebas, Anda dapat menggeser energi hamiltonian Anda dengan$\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$dan fisika sistem akan tetap sama (fungsi gelombang akan sama). Karena fungsi gelombang ini bukan fungsi delta yang terletak di nol (seperti dalam mekanika klasik) tetapi lebih menyebar, Anda dapat menafsirkan ini sebagai, misalnya, atom Anda masih bergetar ketika dalam keadaan eigen dari hamiltonian ini.
Mengenai pertanyaan Anda: Ya,$n$hanyalah angka yang dimaksudkan untuk memberi label keadaan eigen energi dari terendah ke tertinggi. Suhu hanya berperan secara tidak langsung. Untuk menentukan suhu, Anda harus menentukan ansambel termal (Anda memerlukan lebih dari satu partikel untuk melakukannya dengan benar) dengan matriks densitas terkait$\rho$. Pilihan umum untuk ini diberikan oleh$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$di mana$|i\rangle$menyatakan keadaan eigen energi dan$E_i$nilai eigen energi yang sesuai (dalam hal ini untuk osilator harmonik).$T$adalah suhu,$k$hanya sebuah konstanta. Anda dapat menginterpretasikan (mirip dengan koefisien ekspansi fungsi gelombang) bahwa faktor$e^{-E_{i}/kT}/z$adalah probabilitas berada di negara bagian$|i\rangle$. Anda dapat melihatnya ketika$T\rightarrow 0$, hanya koefisien dengan nilai eigen energi terendah yang akan tersisa (koefisien apa pun dengan lebih tinggi$E_i$-nilai akan menghilang lebih cepat). Dari sini dapat disimpulkan bahwa untuk sistem umum (bukan hanya contoh osilator harmonik Anda) sistem akan berada dalam keadaan energi terendah ketika$T\rightarrow 0$(selama Anda memiliki ansambel termal).
Bilangan kuantum n hanya mewakili tingkat energi yang berbeda yang diberikan oleh osilator harmonik.
$\mathbf{n=0}$tidak sesuai dengan suhu tertentu, tetapi pendudukan relatifnya terhadap tingkat energi lain sesuai dengan suhu tertentu. Sebagai sistem naik suhu, tingkat energi yang lebih tinggi dapat ditempati pada jumlah yang lebih besar. Demikian juga, pada 0 K ada persyaratan bahwa hanya tingkat energi terendah yang ditempati.
Adalah$n$hanya nomor?
$n$memang angka. Apakah hanya sebuah angka? Nah itu adalah bilangan kuantum yang berarti itu melabeli$n^{\textrm{th}}$tingkat energi tereksitasi dari sistem (yaitu$(n+1)^{\textrm{th}}$nilai eigen terkecil dari sistem Hamiltonian, dengan$n=0$sesuai dengan nilai eigen terkecil ,$n=1$sesuai dengan nilai eigen terkecil kedua , dll.
Kalau begitu bagaimana caranya$n = 0$ada hubungannya dengan suhu?
Matriks kerapatan sistem dengan potensial osilator harmonik sering diberikan dalam bentuk Hamiltonian$H$oleh:
\begin{equation} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\right)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{persamaan}
Diagonal matriks densitas dari kiri atas ke kanan bawah kemudian memberi tahu Anda peluang menemukan sistem di$n=0,1,2,\ldots$, artinya jika elemen kiri atas dari matriks kerapatan adalah$p$, probabilitas sistem ditemukan pada tingkat energi yang sesuai dengan$n=0$adalah$p$. Kapan$T=0$kami memiliki bahwa probabilitas sistem berada dalam keadaan tereksitasi ($n>0$) sangat ditekan oleh eksponensial yang menurun, dan Anda dapat mengandalkan untuk menemukan sistem di$n=0$tingkat. Kapan$T$lebih besar, keadaan tereksitasi akan lebih mungkin terisi. Sebagai$T$pendekatan$+\infty$, eksponensial menjadi mendekati 1 dan kita mendekati skenario di mana probabilitas menjadi sama untuk setiap keadaan$n$.
persamaan 1 dalam jawaban ini juga:
- persamaan 1 dalam jawaban ini: Mengubah energi ikat adsorpsi menjadi suhu absolut
- persamaan 3 dalam jawaban ini: Dapatkah saya menghitung perbedaan energi bebas di (sementara) keadaan mikro terdekat menggunakan persamaan Zwanzig untuk Gangguan Energi Bebas?
- persamaan 2 dalam jawaban ini: Osilator harmonik kuantum, energi titik nol, dan bilangan kuantum n
Adalah$đť‘›$hanya nomor?
Pendeknya,$n$adalah bilangan kuantum energi dari osilator harmonik kuantum.
Kalau begitu bagaimana caranya$đť‘›$=$0$ada hubungannya dengan suhu?
Khususnya,$n$=$0$berarti osilator harmonik akan tetap pada keadaan dasarnya. Biasanya, keadaan dasar sistem kuantum diasumsikan hidup pada suhu nol. Oleh karena itu, Anda dapat menemukan hubungan antara$n=0$dan titik nol.
Berikut adalah posting untuk berbicara tentang hubungan antara suhu nol dan keadaan dasar.
- https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
Berikut adalah posting untuk berbicara tentang apa ukuran untuk berbicara tentang keseimbangan termal (Ini penting untuk menentukan suhu):
- https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium
Semoga membantu.
Seperti yang telah dinyatakan dalam beberapa jawaban lain,$n$hanyalah sebuah angka, dan populasi negara bagian dengan perbedaan$n$tergantung pada suhu.
Namun, poin penting belum disebutkan. Osilator harmonik kuantum sering digunakan untuk gerakan nuklir. Itu muncul dari ekspansi Taylor orde kedua dari permukaan energi potensial nuklir Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$
di mana suku orde pertama menghilang sejak$\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$minimal.
Karena tingkat spasial negara bagian meningkat dengan$n$, pentingnya efek anharmonik juga tumbuh dengan$n$, atau dengan meningkatnya suhu.