Pada spektrum operator linier terbatas

Question

Menurut [wikipedia] [1]

Membiarkan $T$ menjadi operator linier terbatas yang bekerja pada ruang Banach $X$ di atas bidang skalar kompleks $\mathbb{C}$ dan $I$ jadilah operator identitas $X$. Spektrum$T$ adalah himpunan semua $\lambda \in \mathbb{C}$ untuk yang operatornya $T-\lambda I$ tidak memiliki invers yang merupakan operator linier terbatas

Definisi ini sepertinya tidak tepat bagi saya karena berikut ini. Karena$X$ adalah Banach, jika $T$memiliki invers, [inversi ini harus dibatasi] [2]. Tetapi (menurut saya) definisi di wikipedia mungkin menyesatkan karena orang bisa berpikir bahwa itu bisa terjadi$T-\lambda I$ dalam hal ini dapat dibalik tetapi tidak dibatasi $\lambda$ tampaknya juga menjadi elemen spektrum $T$menurut definisi di atas. Saya pikir definisi spektrum yang lebih baik, dalam hal ini, akan menjadi himpunan semua bilangan kompleks seperti$T-\lambda I$ tidak bisa dibalik.

Pertanyaan: Jika$X$dianggap normed daripada Banach, apa definisi terbaik dari spektrum? Apakah satu permintaan$T-\lambda I$tidak bisa dibalik atau tidak bisa dibalik dan dibatasi?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic% 20properties, subset% 20of% 20the% 20complex% 20plane. & Teks = akan% 20be% 20defined% 20everywhere% 20on% 20the% 20complex% 20plane% 20and% 20bounded. & Text = The% 20boundedness% 20of% 20the% 20 spektrum, dibatasi% 20by% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: Kebalikan dari operator terikat?

Answer 1

Jika $T-\lambda I$ adalah suntik, lalu $T-\lambda I$ akan memiliki kebalikan $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, tapi itu tidak menjamin itu $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$terikat. Misalnya, pertimbangkan$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ didefinisikan oleh $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$terikat. Padahal kebalikannya$T^{-1}g = g'$ ditutup, ini hanya ditentukan pada fungsi $g \in L^2[0,1]$ itu

$\;\;\;$(i) benar-benar berkelanjutan,
$\;\;\;$(ii) lenyap pada $0$, dan
$\;\;\;$(iii) memiliki turunan terintegralkan persegi pada $[0,1]$.

Selanjutnya $T^{-1}$tidak terikat pada domainnya; jadi tidak mungkin diperpanjang$T^{-1}$sedemikian rupa sehingga akan berkelanjutan. Jika kisaran$T$ semuanya $X$, sehingga menjadi kebalikan dari $T$ didefinisikan di mana saja di $L^2[0,1]$, maka argumen Anda akan berlaku karena $T$akan ditentukan pada ruang Banach dan akan memiliki grafik tertutup. Tetapi itu tidak harus terjadi, bahkan jika$T^{-1}$ ada, karena tidak terjadi dalam kasus ini.