Pemeriksaan Bukti: Untuk penyaringan lengkap, $\mathcal{F}_{t}^{B}$ benar terus menerus dimana $B$ adalah gerakan Brownian standar
Membiarkan $B$ menjadi gerakan Brownian standar $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P)$ dan selanjutnya biarkan $(\mathcal{F}_{t}^{B})_{t \geq 0}$ menjadi filtrasi alami yang terkait dengan $B$ seperti yang $\mathcal{F}_{t}^{B}$ untuk $t \geq 0$berisi semua set null. Tunjukkan bahwa filtrasi benar-kontinu.
Pendekatan saya:
Sepele, kami punya $\mathcal{F}_{t}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t+}^{B}$.
Sekarang untuk "$\mathcal{F}_{t+}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t}^{B}$", kami berasumsi bahwa ini tidak berlaku:
kami memilih $A \in \mathcal{F}_{t+}^{B}\setminus \mathcal{F}_{t}^{B}$ dan biarkan $N$ menjadi set nol seperti itu $B$ terus menerus $\overline{\Omega}:=\Omega\setminus N$
Kemudian kita dapat membuat urutan $(\varepsilon_{n})_{n \in \mathbb N}\subseteq(0,\infty)$ dengan $\varepsilon_{n}\downarrow 0$ sebagai $n \to \infty$ seperti yang $A$ aku s $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ terukur untuk apapun $n \in \mathbb N$.
Selanjutnya $B$ terus menerus $A\setminus N_{A}$ dimana $N_{A}$ adalah beberapa himpunan nol dan karenanya $A\setminus N_{A}$ aku s $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ terukur untuk apapun $n \in \mathbb N$, kami punya $A\setminus N_{A}$ bahwa $B_{t+\varepsilon_{n}}\xrightarrow{n \to \infty} B_{t}$ dan dengan demikian $A \setminus N_{A}$ harus $B_{t}$terukur. Karenanya$A = (A \setminus N_{A} )\cup N_{A}$ aku s $B_{t}$-terukur yang menyiratkan $A \in \mathcal{F}_{t}^{B}$ yang bertentangan dengan asumsi awal.
Apakah bukti saya benar? Ada perbaikan?
Jawaban
(Saya akan menyingkat $\mathcal F^B_t$ untuk $\mathcal F_t$, dll.)
Anda perlu menunjukkan itu $$ E[G\mid\mathcal F_{t+}] = E[G\mid\mathcal F_{t}]\qquad\qquad(\dagger) $$ untuk setiap yang dibatasi $\mathcal F$-terukur $G$. Setelah ini selesai, pertimbangkan$A\in\mathcal F_{t+}$ dan ambil $G=1_A$. Kemudian ($\dagger$) menyiratkan itu $1_A=E[1_A\mid\mathcal F_{t+}] =E[1_A\mid\mathcal F_t]$ sebagai Karena $\mathcal F_t$ berisi semua set null, ini menunjukkan bahwa $A$ aku s $\mathcal F_t$-terukur. Karena itu$\mathcal F_{t+}\subset\mathcal F_t$.
Identitas ($\dagger$) adalah konsekuensi dari dua hal: (i) (kanan) kesinambungan jalur gerak Brown, dan (ii) kenaikan independen stasioner dari gerak Brown.
Memperbaiki $t>0$. Dengan teorema kelas monoton, cukup untuk menunjukkan ($\dagger$) untuk $G$ dari bentuk $H\cdot K_t$, dimana $H$ dibatasi dan $\mathcal F_{t}$-terukur, dan $$ K_u:=\prod_{i=1}^m f_i(B_{u+s_i}-B_u),\qquad u\ge 0, $$ dimana $m$ adalah bilangan bulat positif, $s_i$ adalah angka positif dan $f_i$dibatasi dan kontinu. Perhatikan itu$u\mapsto K_u$ adalah (sebagai) kontinu, dan $u\mapsto E[K_u]$konstan. Juga,$K_u$ tidak tergantung $\mathcal F_u$ karena kenaikan independen yang disebutkan sebelumnya.
Sekarang perbaiki acara $C\in\mathcal F_{t+}$. Membiarkan$\{t_n\}$ menjadi urutan real yang sangat menurun dengan batas $t$. Kemudian$$ \eqalign{ E[1_C\cdot G] &=E[1_CHK_t]=\lim_{n\to\infty}E[1_CHK_{t_n}]\cr &=\lim_{n\to\infty}E[1_CH]\cdot E[K_{t_n}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_{t}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_0]\cr &=E\left[1_CH\cdot E[K_0]\right]. } $$ (Persamaan ketiga mengikuti karena $C\in \mathcal F_{t_n}$, dan $K_{t_n}$ tidak tergantung $\mathcal F_{t_n}$.) Perhitungan ini menunjukkan bahwa $E[G\mid\mathcal F_{t+}]=H\cdot E[K_0]$, yang mana $\mathcal F_t$-terukur. Jadi ($\dagger$) mengikuti.
Pertama: $(\mathcal{F}_t^B)_{t\geq0}$ tidak benar terus menerus di $t=0$.
Karena untuk mosi Brown, ia memegangnya $B_0=0$ saat Anda mendapatkannya $$ \mathcal{F}_0^B = \sigma(\{\emptyset,\Omega\}\cup \mathcal{N}) $$ tapi $$\mathcal{F}_t^B = \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad t>0$$ dimana $\mathcal{N}$adalah kumpulan nol ukuran Anda. Juga lihat pertanyaan lain ini tentang penyaringan kontinu yang tidak benar.
Saya pikir masalah dalam pembuktian Anda adalah bahwa kesinambungan gerakan Brown tidak berarti terukur $A\setminus N_A$ wrt $B_t$.